График функции y = -x^4+8*x-16

          4           
f(x) = - x  + 8*x - 16

$$f{\left (x \right )} = - x^{4} + 8 x - 16$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{4} + 8 x - 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -x^4 + 8*x - 16.
$$-16 + - 0 + 0 \cdot 8$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -16$$
Точка:

(0, -16)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 4 x^{3} + 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 3 ___          3 ___ 
(\/ 2, -16 + 6*\/ 2 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 2**(1/3)]

Возрастает на промежутках

[2**(1/3), oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 12 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + 8 x - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{4} + 8 x - 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^4 + 8*x - 16, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{4} + 8 x - 16\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{4} + 8 x - 16\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{4} + 8 x - 16 = - x^{4} - 8 x - 16$$
- Нет
$$- x^{4} + 8 x - 16 = - -1 x^{4} - - 8 x + 16$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной