График функции y = 3*x^2+3/5*x-3

Вы ввели

          2   3*x    
f(x) = 3*x  + --- - 3
               5     

$$f{\left (x \right )} = 3 x^{2} + \frac{3 x}{5} - 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 x^{2} + \frac{3 x}{5} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{101}}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{101}}{10} - \frac{1}{10}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.904987562112$$
$$x_{2} = -1.10498756211$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*x^2 + 3*x/5 - 3.
$$-3 + 3 \cdot 0^{2} + \frac{0}{5}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:

(0, -3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$6 x + \frac{3}{5} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{10}$$
Зн. экстремумы в точках:

        -303  
(-1/10, -----)
         100  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{10}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1/10, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1/10]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$6 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{2} + \frac{3 x}{5} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + \frac{3 x}{5} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x^2 + 3*x/5 - 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x^{2} + \frac{3 x}{5} - 3\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 x^{2} + \frac{3 x}{5} - 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 x^{2} + \frac{3 x}{5} - 3 = 3 x^{2} - \frac{3 x}{5} - 3$$
- Нет
$$3 x^{2} + \frac{3 x}{5} - 3 = - 3 x^{2} - - \frac{3 x}{5} + 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной