График функции y = 1-8*x^2+x^4

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
              2    4
f(x) = 1 - 8*x  + x 
f(x)=x4+8x2+1f{\left (x \right )} = x^{4} + - 8 x^{2} + 1
График функции
-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0-5050
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x4+8x2+1=0x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=15+4x_{1} = - \sqrt{- \sqrt{15} + 4}
x2=15+4x_{2} = \sqrt{- \sqrt{15} + 4}
x3=15+4x_{3} = - \sqrt{\sqrt{15} + 4}
x4=15+4x_{4} = \sqrt{\sqrt{15} + 4}
Численное решение
x1=0.356393958693x_{1} = -0.356393958693
x2=2.80588370148x_{2} = 2.80588370148
x3=2.80588370148x_{3} = -2.80588370148
x4=0.356393958693x_{4} = 0.356393958693
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - 8*x^2 + x^4.
04+0+10^{4} + - 0 + 1
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
4x316x=04 x^{3} - 16 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -15)

(0, 1)

(2, -15)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x3=2x_{3} = -2
x3=2x_{3} = 2
Максимумы функции в точках:
x3=0x_{3} = 0
Убывает на промежутках
[-2, 0] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -2] U [0, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
4(3x24)=04 \left(3 x^{2} - 4\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=233x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
x2=233x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -2*sqrt(3)/3] U [2*sqrt(3)/3, oo)

Выпуклая на промежутках
[-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x4+8x2+1)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x4+8x2+1)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - 8*x^2 + x^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x4+8x2+1))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(x4+8x2+1))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x4+8x2+1=x4+8x2+1x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = x^{4} + - 8 x^{2} + 1
- Да
x4+8x2+1=x4+18x21x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = - x^{4} + - -1 \cdot 8 x^{2} - 1
- Нет
значит, функция
является
чётной