График функции y = 1-8*x^2+x^4
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
2 4 f(x) = 1 - 8*x + x
$$f{\left (x \right )} = x^{4} + - 8 x^{2} + 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{- \sqrt{15} + 4}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \sqrt{15} + 4}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\sqrt{15} + 4}$$
$$x_{4} = \sqrt{\sqrt{15} + 4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.356393958693$$
$$x_{2} = 2.80588370148$$
$$x_{3} = -2.80588370148$$
$$x_{4} = 0.356393958693$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{- \sqrt{15} + 4}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \sqrt{15} + 4}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\sqrt{15} + 4}$$
$$x_{4} = \sqrt{\sqrt{15} + 4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.356393958693$$
$$x_{2} = 2.80588370148$$
$$x_{3} = -2.80588370148$$
$$x_{4} = 0.356393958693$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - 8*x^2 + x^4.
$$0^{4} + - 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
подставляем x = 0 в 1 - 8*x^2 + x^4.
$$0^{4} + - 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x^{3} - 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x^{3} - 16 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -15)
(0, 1)
(2, -15)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках
[-2, 0] U [2, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -2] U [0, 2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(3 x^{2} - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(3 x^{2} - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -2*sqrt(3)/3] U [2*sqrt(3)/3, oo)
Выпуклая на промежутках
[-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - 8*x^2 + x^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{4} + - 8 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = x^{4} + - 8 x^{2} + 1$$
- Да
$$x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = - x^{4} + - -1 \cdot 8 x^{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = x^{4} + - 8 x^{2} + 1$$
- Да
$$x^{4} + - 8 x^{2} + 1 = - x^{4} + - -1 \cdot 8 x^{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной