График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x4+−8x2+1=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−−15+4 x2=−15+4 x3=−15+4 x4=15+4 Численное решение x1=−0.356393958693 x2=2.80588370148 x3=−2.80588370148 x4=0.356393958693
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 1 - 8*x^2 + x^4. 04+−0+1 Результат: f(0)=1 Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 4x3−16x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2 x2=0 x3=2 Зн. экстремумы в точках:
(-2, -15)
(0, 1)
(2, -15)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x3=−2 x3=2 Максимумы функции в точках: x3=0 Убывает на промежутках
[-2, 0] U [2, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -2] U [0, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 4(3x2−4)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−323 x2=323
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, -2*sqrt(3)/3] U [2*sqrt(3)/3, oo)
Выпуклая на промежутках
[-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x4+−8x2+1)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x4+−8x2+1)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - 8*x^2 + x^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(x4+−8x2+1))=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(x4+−8x2+1))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x4+−8x2+1=x4+−8x2+1 - Да x4+−8x2+1=−x4+−−1⋅8x2−1 - Нет значит, функция является чётной