График функции y = x^2/(x^2-9)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2  
         x   
f(x) = ------
        2    
       x  - 9
f(x)=x2x29f{\left (x \right )} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}
График функции
0-60-50-40-30-20-10102030405060-1010
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2x29=0\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=9.85841562554107x_{2} = 9.85841562554 \cdot 10^{-7}
x3=8.43656474654107x_{3} = -8.43656474654 \cdot 10^{-7}
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/(x^2 - 9).
029+02\frac{0^{2}}{-9 + 0^{2}}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x3(x29)2+2xx29=0- \frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} - 9} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0]

Возрастает на промежутках
[0, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x29(8x4(x29)210x2x29+2)=0\frac{1}{x^{2} - 9} \left(\frac{8 x^{4}}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} - \frac{10 x^{2}}{x^{2} - 9} + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2x29)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx(x2x29)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(x^2 - 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(xx29)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 9}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(xx29)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 9}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2x29=x2x29\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}
- Да
x2x29=x2x29\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}
- Нет
значит, функция
является
чётной