График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x4−8x2+2=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−4−14 x2=4−14 x3=−14+4 x4=14+4 Численное решение x1=0.508274151640686 x2=2.78238340039146 x3=−2.78238340039146 x4=−0.508274151640686
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^4 - 8*x^2 + 2. 04−8⋅02+2 Результат: f(0)=2 Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная 4x3−16x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2 x2=0 x3=2 Зн. экстремумы в точках:
(-2, -14)
(0, 2)
(2, -14)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=−2 x2=2 Максимумы функции в точках: x2=0 Убывает на промежутках [−2,0]∪[2,∞) Возрастает на промежутках (−∞,−2]∪[0,2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 4⋅(3x2−4)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−323 x2=323
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,−323]∪[323,∞) Выпуклая на промежутках [−323,323]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x4−8x2+2)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x4−8x2+2)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 8*x^2 + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xx4−8x2+2)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(xx4−8x2+2)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x4−8x2+2=x4−8x2+2 - Да x4−8x2+2=−x4+8x2−2 - Нет значит, функция является чётной