График функции y = x*(|x+1|)

f(x) = x*|x + 1|

$$f{\left (x \right )} = x \left|{x + 1}\right|$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \left|{x + 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*|x + 1|.
$$0 \left|{1}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x \operatorname{sign}{\left (x + 1 \right )} + \left|{x + 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -0.5$$
Зн. экстремумы в точках:

(-0.5, -0.25)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -0.5$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-0.5, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -0.5]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left|{x + 1}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left|{x + 1}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*|x + 1|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{x + 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{x + 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \left|{x + 1}\right| = - x \left|{x - 1}\right|$$
- Нет
$$x \left|{x + 1}\right| = - -1 x \left|{x - 1}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной