График функции y = (|x-2|)-(|x+1|)+x-2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = |x - 2| - |x + 1| + x - 2
f(x)=x+x2x+12f{\left (x \right )} = x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2
График функции
801234567-4-3-2-15-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x+x2x+12=0x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
x2=5x_{2} = 5
Численное решение
x1=5x_{1} = 5
x2=1x_{2} = -1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 2| - |x + 1| + x - 2.
2+1+2-2 + - \left|{1}\right| + \left|{-2}\right|
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = -1
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sign(x2)sign(x+1)+1=0\operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )} - \operatorname{sign}{\left (x + 1 \right )} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(2, -3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=2x_{1} = 2
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x+x2x+12)=\lim_{x \to -\infty}\left(x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x+x2x+12)=\lim_{x \to \infty}\left(x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 2| - |x + 1| + x - 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x+x2x+12))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2\right)\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
limx(1x(x+x2x+12))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2\right)\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x+x2x+12=xx1+x+22x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2 = - x - \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 2}\right| - 2
- Нет
x+x2x+12=1xx1x+2+2x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2 = - -1 x - - \left|{x - 1}\right| - \left|{x + 2}\right| + 2
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной