График функции y = (|x-2|)-(|x+1|)+x-2

f(x) = |x - 2| - |x + 1| + x - 2

$$f{\left (x \right )} = x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -1$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 2| - |x + 1| + x - 2.
$$-2 + - \left|{1}\right| + \left|{-2}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )} - \operatorname{sign}{\left (x + 1 \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, -3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 2| - |x + 1| + x - 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2 = - x - \left|{x - 1}\right| + \left|{x + 2}\right| - 2$$
- Нет
$$x + \left|{x - 2}\right| - \left|{x + 1}\right| - 2 = - -1 x - - \left|{x - 1}\right| - \left|{x + 2}\right| + 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной