График функции y = (-2*x+1)/(x^2-x-2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        -2*x + 1 
f(x) = ----------
        2        
       x  - x - 2
f(x)=2x+1x2x2f{\left (x \right )} = \frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2}
График функции
05-30-25-20-15-10-51015202530-2020
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2x+1x2x2=0\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Численное решение
x1=0.5x_{1} = 0.5
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-2*x + 1)/(x^2 - x - 2).
0+12+020\frac{- 0 + 1}{-2 + 0^{2} - 0}
Результат:
f(0)=12f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{2}
Точка:
(0, -1/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
(2x+1)(2x+1)(x2x2)22x2x2=0\frac{\left(- 2 x + 1\right) \left(- 2 x + 1\right)}{\left(x^{2} - x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x^{2} - x - 2} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(x2+x+2)2(2x1)((2x1)2x2+x+2+3)=0\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2

limx1(2(x2+x+2)2(2x1)((2x1)2x2+x+2+3))=\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)\right) = \infty
limx1+(2(x2+x+2)2(2x1)((2x1)2x2+x+2+3))=\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)\right) = -\infty
- пределы не равны, зн.
x1=1x_{1} = -1
- является точкой перегиба
limx2(2(x2+x+2)2(2x1)((2x1)2x2+x+2+3))=\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)\right) = \infty
limx2+(2(x2+x+2)2(2x1)((2x1)2x2+x+2+3))=\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)\right) = -\infty
- пределы не равны, зн.
x2=2x_{2} = 2
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/2]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2x+1x2x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(2x+1x2x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-2*x + 1)/(x^2 - x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x+1x(x2x2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 1}{x \left(x^{2} - x - 2\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(2x+1x(x2x2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 1}{x \left(x^{2} - x - 2\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2x+1x2x2=2x+1x2+x2\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2} = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}
- Нет
2x+1x2x2=2x+1x2+x2\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2} = - \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной