График функции y = (-2*x+1)/(x^2-x-2)

        -2*x + 1 
f(x) = ----------
        2        
       x  - x - 2

$$f{\left (x \right )} = \frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.5$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-2*x + 1)/(x^2 - x - 2).
$$\frac{- 0 + 1}{-2 + 0^{2} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{2}$$
Точка:

(0, -1/2)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 1\right) \left(- 2 x + 1\right)}{\left(x^{2} - x - 2\right)^{2}} - \frac{2}{x^{2} - x - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2}{\left(- x^{2} + x + 2\right)^{2}} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 3\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1/2]

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-2*x + 1)/(x^2 - x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 1}{x \left(x^{2} - x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 1}{x \left(x^{2} - x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2} = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$$
- Нет
$$\frac{- 2 x + 1}{x^{2} - x - 2} = - \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной