Точки, в которых функция точно неопределена: x1=−1 x2=2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x2−x−2−2x+1=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=21 Численное решение x1=0.5
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (-2*x + 1)/(x^2 - x - 2). −2+02−0−0+1 Результат: f(0)=−21 Точка:
(0, -1/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная (x2−x−2)2(−2x+1)(−2x+1)−x2−x−22=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная (−x2+x+2)22(2x−1)(−x2+x+2(2x−1)2+3)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=21 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=−1 x2=2
x→−1−lim((−x2+x+2)22(2x−1)(−x2+x+2(2x−1)2+3))=∞ x→−1+lim((−x2+x+2)22(2x−1)(−x2+x+2(2x−1)2+3))=−∞ - пределы не равны, зн. x1=−1 - является точкой перегиба x→2−lim((−x2+x+2)22(2x−1)(−x2+x+2(2x−1)2+3))=∞ x→2+lim((−x2+x+2)22(2x−1)(−x2+x+2(2x−1)2+3))=−∞ - пределы не равны, зн. x2=2 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[1/2, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/2]
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=−1 x2=2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x2−x−2−2x+1)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 x→∞lim(x2−x−2−2x+1)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-2*x + 1)/(x^2 - x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x2−x−2)−2x+1)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x(x2−x−2)−2x+1)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x2−x−2−2x+1=x2+x−22x+1 - Нет x2−x−2−2x+1=−x2+x−22x+1 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной