График функции y = x^2-(|4*x+7|)

        2            
f(x) = x  - |4*x + 7|

$$f{\left (x \right )} = x^{2} - \left|{4 x + 7}\right|$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} - \left|{4 x + 7}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2 + \sqrt{11}$$
$$x_{2} = - \sqrt{11} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.31662479036$$
$$x_{2} = 5.31662479036$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - |4*x + 7|.
$$- \left|{0 \cdot 4 + 7}\right| + 0^{2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -7$$
Точка:

(0, -7)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x - 4 \operatorname{sign}{\left (4 x + 7 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, -11)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - \left|{4 x + 7}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - \left|{4 x + 7}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - |4*x + 7|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - \left|{4 x + 7}\right|\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - \left|{4 x + 7}\right|\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} - \left|{4 x + 7}\right| = x^{2} - \left|{4 x - 7}\right|$$
- Нет
$$x^{2} - \left|{4 x + 7}\right| = - x^{2} - - \left|{4 x - 7}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной