График функции y = sin(2*x+pi/3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /      pi\
f(x) = sin|2*x + --|
          \      3 /
f(x)=sin(2x+π3)f{\left (x \right )} = \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )}
График функции
0-25000-20000-15000-10000-500050001000015000200002-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin(2x+π3)=0\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}
Численное решение
x1=3.66519142919x_{1} = -3.66519142919
x2=79.5870138909x_{2} = 79.5870138909
x3=71.733032257x_{3} = 71.733032257
x4=48.171087355x_{4} = 48.171087355
x5=69.6386371546x_{5} = -69.6386371546
x6=60.2138591938x_{6} = -60.2138591938
x7=92.1533845053x_{7} = 92.1533845053
x8=85.3466004225x_{8} = -85.3466004225
x9=63.879050623x_{9} = 63.879050623
x10=34.0339204139x_{10} = 34.0339204139
x11=26.1799387799x_{11} = 26.1799387799
x12=2.09439510239x_{12} = -2.09439510239
x13=33.5103216383x_{13} = -33.5103216383
x14=21.4675497995x_{14} = 21.4675497995
x15=32.4631240871x_{15} = 32.4631240871
x16=0.523598775598x_{16} = -0.523598775598
x17=18.3259571459x_{17} = 18.3259571459
x18=47.6474885794x_{18} = -47.6474885794
x19=90.0589894029x_{19} = -90.0589894029
x20=31.9395253115x_{20} = -31.9395253115
x21=25.6563400043x_{21} = -25.6563400043
x22=55.5014702134x_{22} = -55.5014702134
x23=75.9218224618x_{23} = -75.9218224618
x24=5.75958653158x_{24} = 5.75958653158
x25=41.8879020479x_{25} = 41.8879020479
x26=24.6091424531x_{26} = 24.6091424531
x27=62.3082542962x_{27} = 62.3082542962
x28=61.7846555206x_{28} = -61.7846555206
x29=49.7418836818x_{29} = 49.7418836818
x30=77.4926187885x_{30} = -77.4926187885
x31=46.6002910282x_{31} = 46.6002910282
x32=13.6135681656x_{32} = 13.6135681656
x33=35.6047167407x_{33} = 35.6047167407
x34=57.5958653158x_{34} = 57.5958653158
x35=54.4542726622x_{35} = 54.4542726622
x36=38.2227106187x_{36} = -38.2227106187
x37=52.3598775598x_{37} = -52.3598775598
x38=46.0766922527x_{38} = -46.0766922527
x39=16.2315620435x_{39} = -16.2315620435
x40=12.0427718388x_{40} = 12.0427718388
x41=391.651884148x_{41} = -391.651884148
x42=97.9129710369x_{42} = -97.9129710369
x43=101.578162466x_{43} = 101.578162466
x44=78.0162175641x_{44} = 78.0162175641
x45=19.8967534727x_{45} = 19.8967534727
x46=82.7286065445x_{46} = 82.7286065445
x47=91.6297857297x_{47} = -91.6297857297
x48=66.497044501x_{48} = -66.497044501
x49=100.007366139x_{49} = 100.007366139
x50=17.8023583703x_{50} = -17.8023583703
x51=2.61799387799x_{51} = 2.61799387799
x52=68.0678408278x_{52} = -68.0678408278
x53=84.2994028713x_{53} = 84.2994028713
x54=22.5147473507x_{54} = -22.5147473507
x55=60.7374579694x_{55} = 60.7374579694
x56=30820.0711293x_{56} = 30820.0711293
x57=63.3554518474x_{57} = -63.3554518474
x58=68.5914396034x_{58} = 68.5914396034
x59=28.7979326579x_{59} = -28.7979326579
x60=56.025068989x_{60} = 56.025068989
x61=11.5191730632x_{61} = -11.5191730632
x62=82.2050077689x_{62} = -82.2050077689
x63=44.5058959259x_{63} = -44.5058959259
x64=85.8701991981x_{64} = 85.8701991981
x65=24.0855436775x_{65} = -24.0855436775
x66=5.23598775598x_{66} = -5.23598775598
x67=9.94837673637x_{67} = -9.94837673637
x68=70.1622359302x_{68} = 70.1622359302
x69=725.184304204x_{69} = 725.184304204
x70=88.4881930761x_{70} = -88.4881930761
x71=98.4365698125x_{71} = 98.4365698125
x72=8.37758040957x_{72} = -8.37758040957
x73=30.3687289847x_{73} = -30.3687289847
x74=10.471975512x_{74} = 10.471975512
x75=38.7463093943x_{75} = 38.7463093943
x76=83.7758040957x_{76} = -83.7758040957
x77=40.3171057211x_{77} = 40.3171057211
x78=39.7935069455x_{78} = -39.7935069455
x79=4.18879020479x_{79} = 4.18879020479
x80=53.9306738866x_{80} = -53.9306738866
x81=93.7241808321x_{81} = 93.7241808321
x82=76.4454212374x_{82} = 76.4454212374
x83=99.4837673637x_{83} = -99.4837673637
x84=41.3643032723x_{84} = -41.3643032723
x85=96.3421747101x_{85} = -96.3421747101
x86=90.5825881785x_{86} = 90.5825881785
x87=16.7551608191x_{87} = 16.7551608191
x88=27.7507351067x_{88} = 27.7507351067
x89=19.3731546971x_{89} = -19.3731546971
x90=74.351026135x_{90} = -74.351026135
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x + pi/3).
sin(02+π3)\sin{\left (0 \cdot 2 + \frac{\pi}{3} \right )}
Результат:
f(0)=32f{\left (0 \right )} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Точка:
(0, sqrt(3)/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2cos(2x+π3)=02 \cos{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π12x_{1} = \frac{\pi}{12}
x2=7π12x_{2} = \frac{7 \pi}{12}
Зн. экстремумы в точках:
 pi     /pi   pi\ 
(--, sin|-- + --|)
 12     \6    3 / 

 7*pi      /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  12       \6    3 / 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=7π12x_{2} = \frac{7 \pi}{12}
Максимумы функции в точках:
x2=π12x_{2} = \frac{\pi}{12}
Убывает на промежутках
(-oo, pi/12] U [7*pi/12, oo)

Возрастает на промежутках
[pi/12, 7*pi/12]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
4sin(2x+π3)=0- 4 \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -pi/6] U [pi/3, oo)

Выпуклая на промежутках
[-pi/6, pi/3]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxsin(2x+π3)=1,1\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
limxsin(2x+π3)=1,1\lim_{x \to \infty} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x + pi/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xsin(2x+π3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1xsin(2x+π3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin(2x+π3)=cos(2x+π6)\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = \cos{\left (2 x + \frac{\pi}{6} \right )}
- Нет
sin(2x+π3)=cos(2x+π6)\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = - \cos{\left (2 x + \frac{\pi}{6} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной