График функции y = sin(2*x+pi/3)

Вы ввели

          /      pi\
f(x) = sin|2*x + --|
          \      3 /

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.66519142919$$
$$x_{2} = 79.5870138909$$
$$x_{3} = 71.733032257$$
$$x_{4} = 48.171087355$$
$$x_{5} = -69.6386371546$$
$$x_{6} = -60.2138591938$$
$$x_{7} = 92.1533845053$$
$$x_{8} = -85.3466004225$$
$$x_{9} = 63.879050623$$
$$x_{10} = 34.0339204139$$
$$x_{11} = 26.1799387799$$
$$x_{12} = -2.09439510239$$
$$x_{13} = -33.5103216383$$
$$x_{14} = 21.4675497995$$
$$x_{15} = 32.4631240871$$
$$x_{16} = -0.523598775598$$
$$x_{17} = 18.3259571459$$
$$x_{18} = -47.6474885794$$
$$x_{19} = -90.0589894029$$
$$x_{20} = -31.9395253115$$
$$x_{21} = -25.6563400043$$
$$x_{22} = -55.5014702134$$
$$x_{23} = -75.9218224618$$
$$x_{24} = 5.75958653158$$
$$x_{25} = 41.8879020479$$
$$x_{26} = 24.6091424531$$
$$x_{27} = 62.3082542962$$
$$x_{28} = -61.7846555206$$
$$x_{29} = 49.7418836818$$
$$x_{30} = -77.4926187885$$
$$x_{31} = 46.6002910282$$
$$x_{32} = 13.6135681656$$
$$x_{33} = 35.6047167407$$
$$x_{34} = 57.5958653158$$
$$x_{35} = 54.4542726622$$
$$x_{36} = -38.2227106187$$
$$x_{37} = -52.3598775598$$
$$x_{38} = -46.0766922527$$
$$x_{39} = -16.2315620435$$
$$x_{40} = 12.0427718388$$
$$x_{41} = -391.651884148$$
$$x_{42} = -97.9129710369$$
$$x_{43} = 101.578162466$$
$$x_{44} = 78.0162175641$$
$$x_{45} = 19.8967534727$$
$$x_{46} = 82.7286065445$$
$$x_{47} = -91.6297857297$$
$$x_{48} = -66.497044501$$
$$x_{49} = 100.007366139$$
$$x_{50} = -17.8023583703$$
$$x_{51} = 2.61799387799$$
$$x_{52} = -68.0678408278$$
$$x_{53} = 84.2994028713$$
$$x_{54} = -22.5147473507$$
$$x_{55} = 60.7374579694$$
$$x_{56} = 30820.0711293$$
$$x_{57} = -63.3554518474$$
$$x_{58} = 68.5914396034$$
$$x_{59} = -28.7979326579$$
$$x_{60} = 56.025068989$$
$$x_{61} = -11.5191730632$$
$$x_{62} = -82.2050077689$$
$$x_{63} = -44.5058959259$$
$$x_{64} = 85.8701991981$$
$$x_{65} = -24.0855436775$$
$$x_{66} = -5.23598775598$$
$$x_{67} = -9.94837673637$$
$$x_{68} = 70.1622359302$$
$$x_{69} = 725.184304204$$
$$x_{70} = -88.4881930761$$
$$x_{71} = 98.4365698125$$
$$x_{72} = -8.37758040957$$
$$x_{73} = -30.3687289847$$
$$x_{74} = 10.471975512$$
$$x_{75} = 38.7463093943$$
$$x_{76} = -83.7758040957$$
$$x_{77} = 40.3171057211$$
$$x_{78} = -39.7935069455$$
$$x_{79} = 4.18879020479$$
$$x_{80} = -53.9306738866$$
$$x_{81} = 93.7241808321$$
$$x_{82} = 76.4454212374$$
$$x_{83} = -99.4837673637$$
$$x_{84} = -41.3643032723$$
$$x_{85} = -96.3421747101$$
$$x_{86} = 90.5825881785$$
$$x_{87} = 16.7551608191$$
$$x_{88} = 27.7507351067$$
$$x_{89} = -19.3731546971$$
$$x_{90} = -74.351026135$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x + pi/3).
$$\sin{\left (0 \cdot 2 + \frac{\pi}{3} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Точка:

(0, sqrt(3)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \cos{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{12}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi     /pi   pi\ 
(--, sin|-- + --|)
 12     \6    3 / 

 7*pi      /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  12       \6    3 / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{12}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{12}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/12] U [7*pi/12, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/12, 7*pi/12]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 4 \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -pi/6] U [pi/3, oo)

Выпуклая на промежутках

[-pi/6, pi/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x + pi/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = \cos{\left (2 x + \frac{\pi}{6} \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = - \cos{\left (2 x + \frac{\pi}{6} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной