График функции y = -x^4+20*x^2-64

Вы ввели

          4       2     
f(x) = - x  + 20*x  - 64

$$f{\left(x \right)} = \left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 4$$
$$x_{4} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -x^4 + 20*x^2 - 64.
$$-64 + \left(- 0^{4} + 20 \cdot 0^{2}\right)$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -64$$
Точка:

(0, -64)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- 4 x^{3} + 40 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{10}$$
$$x_{3} = \sqrt{10}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -64)

    ____     
(-\/ 10, 36)

   ____     
(\/ 10, 36)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{10}$$
$$x_{1} = \sqrt{10}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{10}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{10}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$4 \left(10 - 3 x^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{3}, \frac{\sqrt{30}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{3}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^4 + 20*x^2 - 64, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64 = \left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64$$
- Да
$$\left(- x^{4} + 20 x^{2}\right) - 64 = \left(x^{4} - 20 x^{2}\right) + 64$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График