График функции y = (x+4)/e^(x+4)

       x + 4 
f(x) = ------
        x + 4
       E     

$$f{\left (x \right )} = \frac{x + 4}{e^{x + 4}}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 4}{e^{x + 4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
Численное решение
$$x_{1} = 71.516658846$$
$$x_{2} = 45.7587989604$$
$$x_{3} = 51.6758673387$$
$$x_{4} = 63.56607699$$
$$x_{5} = 115.378231553$$
$$x_{6} = 105.398572537$$
$$x_{7} = 47.7281686335$$
$$x_{8} = 117.374613776$$
$$x_{9} = 65.5523925194$$
$$x_{10} = 32.1413894509$$
$$x_{11} = 89.4416565533$$
$$x_{12} = 93.4293509839$$
$$x_{13} = 61.5808212222$$
$$x_{14} = 53.6533514232$$
$$x_{15} = 87.4482816548$$
$$x_{16} = 75.4964551189$$
$$x_{17} = 49.7006804985$$
$$x_{18} = 109.389949729$$
$$x_{19} = 39.8762545098$$
$$x_{20} = 69.527773187$$
$$x_{21} = 67.5396566044$$
$$x_{22} = 28.3772961852$$
$$x_{23} = 55.6328238139$$
$$x_{24} = 30.2454094695$$
$$x_{25} = 111.385891061$$
$$x_{26} = 41.8319875396$$
$$x_{27} = 113.381987934$$
$$x_{28} = 35.9866376954$$
$$x_{29} = 79.4785626915$$
$$x_{30} = -4$$
$$x_{31} = 37.92723075$$
$$x_{32} = 77.4872456641$$
$$x_{33} = 43.7931569933$$
$$x_{34} = 107.394173452$$
$$x_{35} = 57.6140292183$$
$$x_{36} = 95.423626498$$
$$x_{37} = 73.5062407713$$
$$x_{38} = 59.596754713$$
$$x_{39} = 81.4703620749$$
$$x_{40} = 83.4626045093$$
$$x_{41} = 97.4181615523$$
$$x_{42} = 103.403158172$$
$$x_{43} = 85.4552548671$$
$$x_{44} = 99.4129388284$$
$$x_{45} = 121.367764377$$
$$x_{46} = 119.371127054$$
$$x_{47} = 91.435354026$$
$$x_{48} = 34.0568716419$$
$$x_{49} = 101.40794252$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 4)/E^(x + 4).
$$\frac{4}{e^{4}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{4}{e^{4}}$$
Точка:

(0, 4*exp(-4))

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \left(x + 4\right) e^{- 2 x - 8} e^{x + 4} + \frac{1}{e^{x + 4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
Зн. экстремумы в точках:

      -1 
(-3, e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3]

Возрастает на промежутках

[-3, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(x + 2\right) e^{- x - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 4}{e^{x + 4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 4}{e^{x + 4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 4)/E^(x + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 4\right) e^{- x - 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 4\right) e^{- x - 4}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 4}{e^{x + 4}} = \left(- x + 4\right) e^{x - 4}$$
- Нет
$$\frac{x + 4}{e^{x + 4}} = - \left(- x + 4\right) e^{x - 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной