Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x−1x2−3x+3=0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 3*x + 3)/(x - 1*1).
(−1)1+002−3⋅0+3
Результат:
f(0)=−3
Точка:
(0, -3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
x−12x−3−(x−1)2x2−3x+3=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0
x2=2
Зн. экстремумы в точках:
(0, -3)
1
(2, -----)
2 - 1
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=2
Максимумы функции в точках:
x1=0
Убывает на промежутках
(−∞,0]∪[2,∞)
Возрастает на промежутках
[0,2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
x−12⋅(1−x−12x−3+(x−1)2x2−3x+3)=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(x−1x2−3x+3)=−∞
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
x→∞lim(x−1x2−3x+3)=∞
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 3*x + 3)/(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(x(x−1)x2−3x+3)=1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=x
x→∞lim(x(x−1)x2−3x+3)=1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x−1x2−3x+3=−x−1x2+3x+3
- Нет
x−1x2−3x+3=−−x−1x2+3x+3
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной