График функции y = (x^2-3*x+3)/(x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2          
       x  - 3*x + 3
f(x) = ------------
          x - 1    
f(x)=x23x+3x1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 1}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x23x+3x1=0\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 3*x + 3)/(x - 1*1).
0230+3(1)1+0\frac{0^{2} - 3 \cdot 0 + 3}{\left(-1\right) 1 + 0}
Результат:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = -3
Точка:
(0, -3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2x3x1x23x+3(x1)2=0\frac{2 x - 3}{x - 1} - \frac{x^{2} - 3 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(0, -3)

      1   
(2, -----)
    2 - 1 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=2x_{1} = 2
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][2,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,2]\left[0, 2\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(12x3x1+x23x+3(x1)2)x1=0\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{x^{2} - 3 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x23x+3x1)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 1}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x23x+3x1)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 1}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 3*x + 3)/(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x23x+3x(x1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
limx(x23x+3x(x1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x23x+3x1=x2+3x+3x1\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 1} = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{- x - 1}
- Нет
x23x+3x1=x2+3x+3x1\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 1} = - \frac{x^{2} + 3 x + 3}{- x - 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x^2-3*x+3)/(x-1) /media/krcore-image-pods/hash/xy/5/03/a2e7accd400dd6c7d1c00c9a28978.png