График функции y = x^3/3+2*x^2-12*x-3

        3                  
       x       2           
f(x) = -- + 2*x  - 12*x - 3
       3                   

$$f{\left (x \right )} = - 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{2133}{2} + \frac{567 i}{2} \sqrt{23}} - \frac{48}{\sqrt[3]{\frac{2133}{2} + \frac{567 i}{2} \sqrt{23}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.240729094165$$
$$x_{2} = 3.87896827936$$
$$x_{3} = -9.63823918519$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 + 2*x^2 - 12*x - 3.
$$-3 + \frac{0^{3}}{3} + 2 \cdot 0^{2} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -3$$
Точка:

(0, -3)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} + 4 x - 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-6, 69)

(2, -49/3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -6$$
Убывает на промежутках

(-oo, -6] U [2, oo)

Возрастает на промежутках

[-6, 2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + 2*x^2 - 12*x - 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 = - \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 12 x - 3$$
- Нет
$$- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x + 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной