График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: −12x+3x3+2x2−3=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−2−31322133+2567i23−322133+2567i2348 Численное решение x1=−0.240729094165 x2=3.87896827936 x3=−9.63823918519
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3/3 + 2*x^2 - 12*x - 3. −3+303+2⋅02−0 Результат: f(0)=−3 Точка:
(0, -3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x2+4x−12=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−6 x2=2 Зн. экстремумы в точках:
(-6, 69)
(2, -49/3)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=2 Максимумы функции в точках: x2=−6 Убывает на промежутках
(-oo, -6] U [2, oo)
Возрастает на промежутках
[-6, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 2(x+2)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[-2, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(−12x+3x3+2x2−3)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(−12x+3x3+2x2−3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + 2*x^2 - 12*x - 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(−12x+3x3+2x2−3))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(−12x+3x3+2x2−3))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: −12x+3x3+2x2−3=−3x3+2x2+12x−3 - Нет −12x+3x3+2x2−3=−3−1x3−2x2−12x+3 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной