График функции y = x^3/3+2*x^2-12*x-3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3                  
       x       2           
f(x) = -- + 2*x  - 12*x - 3
       3                   
f(x)=12x+x33+2x23f{\left (x \right )} = - 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3
График функции
01234-9-8-7-6-5-4-3-2-1-100100
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
12x+x33+2x23=0- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=21321332+567i22334821332+567i2233x_{1} = -2 - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{2133}{2} + \frac{567 i}{2} \sqrt{23}} - \frac{48}{\sqrt[3]{\frac{2133}{2} + \frac{567 i}{2} \sqrt{23}}}
Численное решение
x1=0.240729094165x_{1} = -0.240729094165
x2=3.87896827936x_{2} = 3.87896827936
x3=9.63823918519x_{3} = -9.63823918519
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 + 2*x^2 - 12*x - 3.
3+033+2020-3 + \frac{0^{3}}{3} + 2 \cdot 0^{2} - 0
Результат:
f(0)=3f{\left (0 \right )} = -3
Точка:
(0, -3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x2+4x12=0x^{2} + 4 x - 12 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=6x_{1} = -6
x2=2x_{2} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(-6, 69)

(2, -49/3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = 2
Максимумы функции в точках:
x2=6x_{2} = -6
Убывает на промежутках
(-oo, -6] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
[-6, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(x+2)=02 \left(x + 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(12x+x33+2x23)=\lim_{x \to -\infty}\left(- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(12x+x33+2x23)=\lim_{x \to \infty}\left(- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 + 2*x^2 - 12*x - 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(12x+x33+2x23))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(12x+x33+2x23))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
12x+x33+2x23=x33+2x2+12x3- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 = - \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 12 x - 3
- Нет
12x+x33+2x23=1x332x212x+3- 12 x + \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x + 3
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной