График функции y = (x^2-6*x+13)/(x-3)

Вы ввели

        2           
       x  - 6*x + 13
f(x) = -------------
           x - 3    

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 3}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 6*x + 13)/(x - 3).
$$\frac{1}{-3} \left(0^{2} - 0 + 13\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{13}{3}$$
Точка:

(0, -13/3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x - 6}{x - 3} - \frac{x^{2} - 6 x + 13}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, -4)

(5, 4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1] U [5, oo)

Возрастает на промежутках

[1, 5]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 3} \left(-2 + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} \left(2 x^{2} - 12 x + 26\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 6*x + 13)/(x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 3} = \frac{x^{2} + 6 x + 13}{- x - 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 6 x + 13}{x - 3} = - \frac{x^{2} + 6 x + 13}{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной