График y = f(x) = 3*cos(x/2) (3 умножить на косинус от (х делить на 2)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = 3*cos(x/2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            /x\
f(x) = 3*cos|-|
            \2/
$$f{\left (x \right )} = 3 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -9622.69829795$$
$$x_{2} = 9.42477796077$$
$$x_{3} = 84.8230016469$$
$$x_{4} = -53.407075111$$
$$x_{5} = 65.9734457254$$
$$x_{6} = 3.14159265359$$
$$x_{7} = 15.7079632679$$
$$x_{8} = -3.14159265359$$
$$x_{9} = 40.8407044967$$
$$x_{10} = -59.6902604182$$
$$x_{11} = 97.3893722613$$
$$x_{12} = 78.5398163397$$
$$x_{13} = -34.5575191895$$
$$x_{14} = 28.2743338823$$
$$x_{15} = -91.1061869541$$
$$x_{16} = 72.2566310326$$
$$x_{17} = -9.42477796077$$
$$x_{18} = -65.9734457254$$
$$x_{19} = -72.2566310326$$
$$x_{20} = 47.1238898038$$
$$x_{21} = -84.8230016469$$
$$x_{22} = 91.1061869541$$
$$x_{23} = 59.6902604182$$
$$x_{24} = -47.1238898038$$
$$x_{25} = -21.9911485751$$
$$x_{26} = -97.3893722613$$
$$x_{27} = 34.5575191895$$
$$x_{28} = 21.9911485751$$
$$x_{29} = -160.221225333$$
$$x_{30} = 53.407075111$$
$$x_{31} = -78.5398163397$$
$$x_{32} = -40.8407044967$$
$$x_{33} = 7524312.32568$$
$$x_{34} = -15.7079632679$$
$$x_{35} = -28.2743338823$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*cos(x/2).
$$3 \cos{\left (\frac{0}{2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3$$
Точка:
(0, 3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 3)

(2*pi, -3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2*pi, oo)

Возрастает на промежутках
[0, 2*pi]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{3}{4} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[pi, 3*pi]

Выпуклая на промежутках
(-oo, pi] U [3*pi, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = \langle -3, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -3, 3\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = \langle -3, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -3, 3\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*cos(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3}{x} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{x} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 3 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$
- Нет
$$3 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = - 3 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: