График функции y = 2*(x-3)/(x-2)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       2*(x - 3)
f(x) = ---------
               2
        (x - 2) 
f(x)=2(x3)(x2)2f{\left (x \right )} = \frac{2 \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}
График функции
05-15-10-5101520-2525
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=2x_{1} = 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2(x3)(x2)2=0\frac{2 \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=3x_{1} = 3
Численное решение
x1=3x_{1} = 3
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*(x - 3))/(x - 2)^2.
6(2)21\frac{-6}{\left(-2\right)^{2}} 1
Результат:
f(0)=32f{\left (0 \right )} = - \frac{3}{2}
Точка:
(0, -3/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2(x2)4(2x+4)(x3)+2(x2)2=0\frac{2}{\left(x - 2\right)^{4}} \left(- 2 x + 4\right) \left(x - 3\right) + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=4x_{1} = 4
Зн. экстремумы в точках:
(4, 1/2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=4x_{1} = 4
Убывает на промежутках
(-oo, 4]

Возрастает на промежутках
[4, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1(x2)3(12x36x28)=0\frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}} \left(\frac{12 x - 36}{x - 2} - 8\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=5x_{1} = 5
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=2x_{1} = 2

limx2(1(x2)3(12x36x28))=\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}} \left(\frac{12 x - 36}{x - 2} - 8\right)\right) = -\infty
limx2+(1(x2)3(12x36x28))=\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}} \left(\frac{12 x - 36}{x - 2} - 8\right)\right) = -\infty
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[5, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 5]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=2x_{1} = 2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2(x3)(x2)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(2(x3)(x2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*(x - 3))/(x - 2)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x6x(x2)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 6}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(2x6x(x2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 6}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2(x3)(x2)2=2x6(x2)2\frac{2 \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{- 2 x - 6}{\left(- x - 2\right)^{2}}
- Нет
2(x3)(x2)2=2x6(x2)2\frac{2 \left(x - 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{- 2 x - 6}{\left(- x - 2\right)^{2}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной