Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
−x−1x2+8x+16=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=−4
Численное решение
x1=−4.00000084366
x2=−4
x3=−3.99999901416
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 8*x + 16)/(-x - 1).
−1−01(02+0⋅8+16)
Результат:
f(0)=−16
Точка:
(0, -16)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
Первая производная
−x−12x+8+(−x−1)2x2+8x+16=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−4
x2=2
Зн. экстремумы в точках:
(-4, 0)
(2, -12)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=−4
Максимумы функции в точках:
x2=2
Убывает на промежутках
[-4, 2]
Возрастает на промежутках
(-oo, -4] U [2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
Вторая производная
x+11(−2+x+14x+16−(x+1)21(2x2+16x+32))=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(−x−1x2+8x+16)=∞
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
x→∞lim(−x−1x2+8x+16)=−∞
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 8*x + 16)/(-x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(x(−x−1)x2+8x+16)=−1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=−x
x→∞lim(x(−x−1)x2+8x+16)=−1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=−x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
−x−1x2+8x+16=x−1x2−8x+16
- Нет
−x−1x2+8x+16=−x−1x2−8x+16
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной