График функции y = (x^2+8*x+16)/(-x-1)

Вы ввели

        2           
       x  + 8*x + 16
f(x) = -------------
           -x - 1   

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
Численное решение
$$x_{1} = -4.00000084366$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = -3.99999901416$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 8*x + 16)/(-x - 1).
$$\frac{1}{-1 - 0} \left(0^{2} + 0 \cdot 8 + 16\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -16$$
Точка:

(0, -16)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x + 8}{- x - 1} + \frac{x^{2} + 8 x + 16}{\left(- x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-4, 0)

(2, -12)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках

[-4, 2]

Возрастает на промежутках

(-oo, -4] U [2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 1} \left(-2 + \frac{4 x + 16}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(2 x^{2} + 16 x + 32\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 8*x + 16)/(-x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x \left(- x - 1\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x \left(- x - 1\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1} = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1} = - \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной