График функции y = (x^2+8*x+16)/(-x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2           
       x  + 8*x + 16
f(x) = -------------
           -x - 1   
f(x)=x2+8x+16x1f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1}
График функции
05-20-15-10-510-100100
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2+8x+16x1=0\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=4x_{1} = -4
Численное решение
x1=4.00000084366x_{1} = -4.00000084366
x2=4x_{2} = -4
x3=3.99999901416x_{3} = -3.99999901416
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 8*x + 16)/(-x - 1).
110(02+08+16)\frac{1}{-1 - 0} \left(0^{2} + 0 \cdot 8 + 16\right)
Результат:
f(0)=16f{\left (0 \right )} = -16
Точка:
(0, -16)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x+8x1+x2+8x+16(x1)2=0\frac{2 x + 8}{- x - 1} + \frac{x^{2} + 8 x + 16}{\left(- x - 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=4x_{1} = -4
x2=2x_{2} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(-4, 0)

(2, -12)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=4x_{2} = -4
Максимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = 2
Убывает на промежутках
[-4, 2]

Возрастает на промежутках
(-oo, -4] U [2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x+1(2+4x+16x+11(x+1)2(2x2+16x+32))=0\frac{1}{x + 1} \left(-2 + \frac{4 x + 16}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(2 x^{2} + 16 x + 32\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = -1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2+8x+16x1)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x2+8x+16x1)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 8*x + 16)/(-x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x2+8x+16x(x1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x \left(- x - 1\right)}\right) = -1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = - x
limx(x2+8x+16x(x1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x \left(- x - 1\right)}\right) = -1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = - x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2+8x+16x1=x28x+16x1\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1} = \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 1}
- Нет
x2+8x+16x1=x28x+16x1\frac{x^{2} + 8 x + 16}{- x - 1} = - \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной