График функции y = x^3-3*x^2-9*x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3      2      
f(x) = x  - 3*x  - 9*x
f(x)=x33x29xf{\left(x \right)} = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x
График функции
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x33x29x=0x^{3} - 3 x^{2} - 9 x = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=32352x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}
x3=32+352x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}
Численное решение
x1=1.85410196624968x_{1} = -1.85410196624968
x2=4.85410196624968x_{2} = 4.85410196624968
x3=0x_{3} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 3*x^2 - 9*x.
03302900^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 9 \cdot 0
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3x26x9=03 x^{2} - 6 x - 9 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = -1
x2=3x_{2} = 3
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 5)

(3, -27)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=3x_{1} = 3
Максимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = -1
Убывает на промежутках
(,1][3,)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[3, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[1,3]\left[-1, 3\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6(x1)=06 \left(x - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1,)\left[1, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,1]\left(-\infty, 1\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x33x29x)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x^{2} - 9 x\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x33x29x)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 3 x^{2} - 9 x\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 - 9*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x33x29xx)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x33x29xx)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9 x}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x33x29x=x33x2+9xx^{3} - 3 x^{2} - 9 x = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x
- Нет
x33x29x=x3+3x29xx^{3} - 3 x^{2} - 9 x = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3-3*x^2-9*x /media/krcore-image-pods/hash/xy/e/63/9cfe5b07dccd8da514e2d53121d88.png