График функции y = (x^2)*(x-3)+4

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2            
f(x) = x *(x - 3) + 4
f(x)=x2(x3)+4f{\left (x \right )} = x^{2} \left(x - 3\right) + 4
График функции
-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.03.5-5050
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2(x3)+4=0x^{2} \left(x - 3\right) + 4 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Численное решение
x1=2x_{1} = 2
x2=1x_{2} = -1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*(x - 3) + 4.
302+4-3 \cdot 0^{2} + 4
Результат:
f(0)=4f{\left (0 \right )} = 4
Точка:
(0, 4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x2+2x(x3)=0x^{2} + 2 x \left(x - 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(0, 4)

(2, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = 2
Максимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
[0, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
6(x1)=06 \left(x - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2(x3)+4)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x - 3\right) + 4\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x2(x3)+4)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x - 3\right) + 4\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*(x - 3) + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x2(x3)+4))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} \left(x - 3\right) + 4\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(x2(x3)+4))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} \left(x - 3\right) + 4\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2(x3)+4=x2(x3)+4x^{2} \left(x - 3\right) + 4 = x^{2} \left(- x - 3\right) + 4
- Нет
x2(x3)+4=x2(x3)4x^{2} \left(x - 3\right) + 4 = - x^{2} \left(- x - 3\right) - 4
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной