График функции y = sin(x)+cos(x)+1

Вы ввели

f(x) = sin(x) + cos(x) + 1

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 9.42477796077$$
$$x_{2} = 67.5442420522$$
$$x_{3} = -65.9734457254$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = 84.8230016469$$
$$x_{6} = -53.407075111$$
$$x_{7} = 48.6946861306$$
$$x_{8} = 65.9734457254$$
$$x_{9} = 3.14159265359$$
$$x_{10} = 61.261056745$$
$$x_{11} = 15.7079632679$$
$$x_{12} = -70.6858347058$$
$$x_{13} = -89.5353906273$$
$$x_{14} = -3.14159265359$$
$$x_{15} = 40.8407044967$$
$$x_{16} = -59.6902604182$$
$$x_{17} = 17.2787595947$$
$$x_{18} = 97.3893722613$$
$$x_{19} = 78.5398163397$$
$$x_{20} = -21.9911485751$$
$$x_{21} = -32.9867228627$$
$$x_{22} = 92.6769832809$$
$$x_{23} = -196.349540849$$
$$x_{24} = 72.2566310326$$
$$x_{25} = -58.1194640914$$
$$x_{26} = -95.8185759345$$
$$x_{27} = -34.5575191895$$
$$x_{28} = 28.2743338823$$
$$x_{29} = 36.1283155163$$
$$x_{30} = 73.8274273594$$
$$x_{31} = -91.1061869541$$
$$x_{32} = -14.1371669412$$
$$x_{33} = 80.1106126665$$
$$x_{34} = 4.71238898038$$
$$x_{35} = 10.9955742876$$
$$x_{36} = -9.42477796077$$
$$x_{37} = 23.5619449019$$
$$x_{38} = -39.2699081699$$
$$x_{39} = -84.8230016469$$
$$x_{40} = -72.2566310326$$
$$x_{41} = -26.7035375555$$
$$x_{42} = -83.2522053201$$
$$x_{43} = 98.9601685881$$
$$x_{44} = -45.5530934771$$
$$x_{45} = 91.1061869541$$
$$x_{46} = -51.8362787842$$
$$x_{47} = 59.6902604182$$
$$x_{48} = -47.1238898038$$
$$x_{49} = -64.4026493986$$
$$x_{50} = 54.9778714378$$
$$x_{51} = -40.8407044967$$
$$x_{52} = -20.4203522483$$
$$x_{53} = -97.3893722613$$
$$x_{54} = -7.85398163397$$
$$x_{55} = 34.5575191895$$
$$x_{56} = -76.9690200129$$
$$x_{57} = 21.9911485751$$
$$x_{58} = -1.57079632679$$
$$x_{59} = 53.407075111$$
$$x_{60} = -78.5398163397$$
$$x_{61} = 29.8451302091$$
$$x_{62} = 42.4115008235$$
$$x_{63} = -28.2743338823$$
$$x_{64} = -15.7079632679$$
$$x_{65} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + cos(x) + 1.
$$\sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -3*pi        ___ 
(-----, 1 - \/ 2 )
   4              

 pi        ___ 
(--, 1 + \/ 2 )
 4             

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках

[-3*pi/4, pi/4]

Возрастает на промежутках

(-oo, -3*pi/4] U [pi/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -pi/4] U [3*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

[-pi/4, 3*pi/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1\right) = \langle -1, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 3\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1\right) = \langle -1, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 3\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + cos(x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1 = - \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1 = - -1 \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной