График функции y = ((x^2-2*x-3)^2)^(1/3)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

           _________________
          /               2 
       3 /  / 2          \  
f(x) = \/   \x  - 2*x - 3/  

$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2}}$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x^2 - 2*x - 3)^2)^(1/3).
$$\sqrt[3]{\left(-3 + 0^{2} - 0\right)^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3^{\frac{2}{3}}$$
Точка:

(0, 3^(2/3))

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\left(4 x - 4\right) \left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}}{3 \left(x^{2} - 2 x\right) - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

      3 ___ 
(1, 2*\/ 2 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1]

Возрастает на промежутках

[1, oo)

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x^2 - 2*x - 3)^2)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{- x^{2} + 2 x + 3}\right|^{\frac{2}{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2}} = \left|{x^{2} + 2 x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
$$\sqrt[3]{\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2}} = - \left|{x^{2} + 2 x - 3}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной