График функции y = (e^(1/2*x-1))/(2*x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         x    
         - - 1
         2    
        E     
f(x) = -------
       2*x - 1
f(x)=ex212x1f{\left (x \right )} = \frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1}
График функции
-1600-1500-1400-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-1000.000005-0.000005
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
ex212x1=0\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=119.891413907x_{1} = -119.891413907
x2=121.891413907x_{2} = -121.891413907
x3=137.891413907x_{3} = -137.891413907
x4=99.8914139072x_{4} = -99.8914139072
x5=85.8914139072x_{5} = -85.8914139072
x6=93.8914139072x_{6} = -93.8914139072
x7=101.891413907x_{7} = -101.891413907
x8=73.8914139072x_{8} = -73.8914139072
x9=139.891413907x_{9} = -139.891413907
x10=125.891413907x_{10} = -125.891413907
x11=107.891413907x_{11} = -107.891413907
x12=135.891413907x_{12} = -135.891413907
x13=91.8914139072x_{13} = -91.8914139072
x14=79.8914139072x_{14} = -79.8914139072
x15=71.8914139072x_{15} = -71.8914139072
x16=63.8914139072x_{16} = -63.8914139072
x17=61.8914139072x_{17} = -61.8914139072
x18=127.891413907x_{18} = -127.891413907
x19=57.8914139072x_{19} = -57.8914139072
x20=109.891413907x_{20} = -109.891413907
x21=95.8914139072x_{21} = -95.8914139072
x22=103.891413907x_{22} = -103.891413907
x23=129.891413907x_{23} = -129.891413907
x24=83.8914139072x_{24} = -83.8914139072
x25=97.8914139072x_{25} = -97.8914139072
x26=123.891413907x_{26} = -123.891413907
x27=81.8914139072x_{27} = -81.8914139072
x28=53.8914139072x_{28} = -53.8914139072
x29=55.8914139072x_{29} = -55.8914139072
x30=87.8914139072x_{30} = -87.8914139072
x31=59.8914139072x_{31} = -59.8914139072
x32=115.891413907x_{32} = -115.891413907
x33=117.891413907x_{33} = -117.891413907
x34=111.891413907x_{34} = -111.891413907
x35=113.891413907x_{35} = -113.891413907
x36=67.8914139072x_{36} = -67.8914139072
x37=105.891413907x_{37} = -105.891413907
x38=133.891413907x_{38} = -133.891413907
x39=77.8914139072x_{39} = -77.8914139072
x40=131.891413907x_{40} = -131.891413907
x41=65.8914139072x_{41} = -65.8914139072
x42=141.891413907x_{42} = -141.891413907
x43=75.8914139072x_{43} = -75.8914139072
x44=69.8914139072x_{44} = -69.8914139072
x45=89.8914139072x_{45} = -89.8914139072
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(x/2 - 1)/(2*x - 1).
1e(1+02)\frac{1}{e \left(-1 + 0 \cdot 2\right)}
Результат:
f(0)=1ef{\left (0 \right )} = - \frac{1}{e}
Точка:
(0, -exp(-1))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
ex214x22ex21(2x1)2=0\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{4 x - 2} - \frac{2 e^{\frac{x}{2} - 1}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}
Зн. экстремумы в точках:
       1/4 
      e    
(5/2, ----)
       4   


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[5/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 5/2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
ex212x1(1422x1+8(2x1)2)=0\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1} \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{2 x - 1} + \frac{8}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(ex212x1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(ex212x1)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(x/2 - 1)/(2*x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(ex21x(2x1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{x \left(2 x - 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(ex21x(2x1))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{x \left(2 x - 1\right)}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
ex212x1=ex212x1\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1} = \frac{e^{- \frac{x}{2} - 1}}{- 2 x - 1}
- Нет
ex212x1=ex212x1\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1} = - \frac{e^{- \frac{x}{2} - 1}}{- 2 x - 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной