График функции y = (e^(1/2*x-1))/(2*x-1)

         x    
         - - 1
         2    
        E     
f(x) = -------
       2*x - 1

$$f{\left (x \right )} = \frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0.5$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -119.891413907$$
$$x_{2} = -121.891413907$$
$$x_{3} = -137.891413907$$
$$x_{4} = -99.8914139072$$
$$x_{5} = -85.8914139072$$
$$x_{6} = -93.8914139072$$
$$x_{7} = -101.891413907$$
$$x_{8} = -73.8914139072$$
$$x_{9} = -139.891413907$$
$$x_{10} = -125.891413907$$
$$x_{11} = -107.891413907$$
$$x_{12} = -135.891413907$$
$$x_{13} = -91.8914139072$$
$$x_{14} = -79.8914139072$$
$$x_{15} = -71.8914139072$$
$$x_{16} = -63.8914139072$$
$$x_{17} = -61.8914139072$$
$$x_{18} = -127.891413907$$
$$x_{19} = -57.8914139072$$
$$x_{20} = -109.891413907$$
$$x_{21} = -95.8914139072$$
$$x_{22} = -103.891413907$$
$$x_{23} = -129.891413907$$
$$x_{24} = -83.8914139072$$
$$x_{25} = -97.8914139072$$
$$x_{26} = -123.891413907$$
$$x_{27} = -81.8914139072$$
$$x_{28} = -53.8914139072$$
$$x_{29} = -55.8914139072$$
$$x_{30} = -87.8914139072$$
$$x_{31} = -59.8914139072$$
$$x_{32} = -115.891413907$$
$$x_{33} = -117.891413907$$
$$x_{34} = -111.891413907$$
$$x_{35} = -113.891413907$$
$$x_{36} = -67.8914139072$$
$$x_{37} = -105.891413907$$
$$x_{38} = -133.891413907$$
$$x_{39} = -77.8914139072$$
$$x_{40} = -131.891413907$$
$$x_{41} = -65.8914139072$$
$$x_{42} = -141.891413907$$
$$x_{43} = -75.8914139072$$
$$x_{44} = -69.8914139072$$
$$x_{45} = -89.8914139072$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(x/2 - 1)/(2*x - 1).
$$\frac{1}{e \left(-1 + 0 \cdot 2\right)}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{e}$$
Точка:

(0, -exp(-1))

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{4 x - 2} - \frac{2 e^{\frac{x}{2} - 1}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

       1/4 
      e    
(5/2, ----)
       4   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[5/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 5/2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1} \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{2 x - 1} + \frac{8}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = 0.5$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(x/2 - 1)/(2*x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{x \left(2 x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{x \left(2 x - 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1} = \frac{e^{- \frac{x}{2} - 1}}{- 2 x - 1}$$
- Нет
$$\frac{e^{\frac{x}{2} - 1}}{2 x - 1} = - \frac{e^{- \frac{x}{2} - 1}}{- 2 x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной