График функции y = 4^(1/(x-4))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          1  
        -----
        x - 4
f(x) = 4     
f(x)=41x4f{\left (x \right )} = 4^{\frac{1}{x - 4}}
График функции
02468-8-6-4-2-101005000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=4x_{1} = 4
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
41x4=04^{\frac{1}{x - 4}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4^(1/(x - 4)).
4144^{\frac{1}{-4}}
Результат:
f(0)=22f{\left (0 \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Точка:
(0, sqrt(2)/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
41x4(x4)2log(4)=0- \frac{4^{\frac{1}{x - 4}}}{\left(x - 4\right)^{2}} \log{\left (4 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
41x4(x4)3(2+log(4)x4)log(4)=0\frac{4^{\frac{1}{x - 4}}}{\left(x - 4\right)^{3}} \left(2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 4}\right) \log{\left (4 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=log(2)+4x_{1} = - \log{\left (2 \right )} + 4
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=4x_{1} = 4

limx4(41x4(x4)3(2+log(4)x4)log(4))=0\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{4^{\frac{1}{x - 4}}}{\left(x - 4\right)^{3}} \left(2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 4}\right) \log{\left (4 \right )}\right) = 0
limx4+(41x4(x4)3(2+log(4)x4)log(4))=\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{4^{\frac{1}{x - 4}}}{\left(x - 4\right)^{3}} \left(2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 4}\right) \log{\left (4 \right )}\right) = \infty
- пределы не равны, зн.
x1=4x_{1} = 4
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-log(2) + 4, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -log(2) + 4]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=4x_{1} = 4
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx41x4=1\lim_{x \to -\infty} 4^{\frac{1}{x - 4}} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx41x4=1\lim_{x \to \infty} 4^{\frac{1}{x - 4}} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4^(1/(x - 4)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x41x4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} 4^{\frac{1}{x - 4}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x41x4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} 4^{\frac{1}{x - 4}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
41x4=41x44^{\frac{1}{x - 4}} = 4^{\frac{1}{- x - 4}}
- Нет
41x4=41x44^{\frac{1}{x - 4}} = - 4^{\frac{1}{- x - 4}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной