График функции y = 4^(1/(x-4))

          1  
        -----
        x - 4
f(x) = 4     

$$f{\left (x \right )} = 4^{\frac{1}{x - 4}}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 4$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4^{\frac{1}{x - 4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4^(1/(x - 4)).
$$4^{\frac{1}{-4}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Точка:

(0, sqrt(2)/2)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{4^{\frac{1}{x - 4}}}{\left(x - 4\right)^{2}} \log{\left (4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4^{\frac{1}{x - 4}}}{\left(x - 4\right)^{3}} \left(2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 4}\right) \log{\left (4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \log{\left (2 \right )} + 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 4$$

$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{4^{\frac{1}{x - 4}}}{\left(x - 4\right)^{3}} \left(2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 4}\right) \log{\left (4 \right )}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{4^{\frac{1}{x - 4}}}{\left(x - 4\right)^{3}} \left(2 + \frac{\log{\left (4 \right )}}{x - 4}\right) \log{\left (4 \right )}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 4$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-log(2) + 4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -log(2) + 4]

Есть:
$$x_{1} = 4$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} 4^{\frac{1}{x - 4}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} 4^{\frac{1}{x - 4}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4^(1/(x - 4)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} 4^{\frac{1}{x - 4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} 4^{\frac{1}{x - 4}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4^{\frac{1}{x - 4}} = 4^{\frac{1}{- x - 4}}$$
- Нет
$$4^{\frac{1}{x - 4}} = - 4^{\frac{1}{- x - 4}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной