График функции y = (4-x)*e^(x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                x - 1
f(x) = (4 - x)*E     
f(x)=ex1(x+4)f{\left (x \right )} = e^{x - 1} \left(- x + 4\right)
График функции
-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-1000.000000.00002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
ex1(x+4)=0e^{x - 1} \left(- x + 4\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=4x_{1} = 4
Численное решение
x1=99.1040701575x_{1} = -99.1040701575
x2=93.1205993527x_{2} = -93.1205993527
x3=59.2896724119x_{3} = -59.2896724119
x4=89.1329980619x_{4} = -89.1329980619
x5=109.080930866x_{5} = -109.080930866
x6=33.7592416454x_{6} = -33.7592416454
x7=4x_{7} = 4
x8=91.1266472538x_{8} = -91.1266472538
x9=31.846376594x_{9} = -31.846376594
x10=79.1702113647x_{10} = -79.1702113647
x11=35.6870583075x_{11} = -35.6870583075
x12=57.3071694941x_{12} = -57.3071694941
x13=39.5740005057x_{13} = -39.5740005057
x14=119.061997115x_{14} = -119.061997115
x15=117.065503606x_{15} = -117.065503606
x16=115.069142283x_{16} = -115.069142283
x17=101.099039845x_{17} = -101.099039845
x18=45.4541901054x_{18} = -45.4541901054
x19=61.2735421114x_{19} = -61.2735421114
x20=97.1093292372x_{20} = -97.1093292372
x21=53.3470343911x_{21} = -53.3470343911
x22=87.1396752246x_{22} = -87.1396752246
x23=103.094223645x_{23} = -103.094223645
x24=71.2086687051x_{24} = -71.2086687051
x25=105.089608132x_{25} = -105.089608132
x26=55.3262172x_{26} = -55.3262172
x27=51.3698838391x_{27} = -51.3698838391
x28=85.1467046859x_{28} = -85.1467046859
x29=111.076847342x_{29} = -111.076847342
x30=77.1789726997x_{30} = -77.1789726997
x31=49.3950840174x_{31} = -49.3950840174
x32=63.2586229734x_{32} = -63.2586229734
x33=73.1981473784x_{33} = -73.1981473784
x34=43.4891864945x_{34} = -43.4891864945
x35=107.085180983x_{35} = -107.085180983
x36=67.2319064024x_{36} = -67.2319064024
x37=121.058615718x_{37} = -121.058615718
x38=113.072920782x_{38} = -113.072920782
x39=65.244782341x_{39} = -65.244782341
x40=83.1541152287x_{40} = -83.1541152287
x41=81.1619388763x_{41} = -81.1619388763
x42=47.4230249784x_{42} = -47.4230249784
x43=37.6261544569x_{43} = -37.6261544569
x44=29.9540517146x_{44} = -29.9540517146
x45=41.5287883413x_{45} = -41.5287883413
x46=69.2198969347x_{46} = -69.2198969347
x47=95.114833113x_{47} = -95.114833113
x48=75.1882678184x_{48} = -75.1882678184
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4 - x)*E^(x - 1).
1e(0+4)\frac{1}{e} \left(- 0 + 4\right)
Результат:
f(0)=4ef{\left (0 \right )} = \frac{4}{e}
Точка:
(0, 4*exp(-1))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
(x+4)ex1ex1=0\left(- x + 4\right) e^{x - 1} - e^{x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3x_{1} = 3
Зн. экстремумы в точках:
     2 
(3, e )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=3x_{1} = 3
Убывает на промежутках
(-oo, 3]

Возрастает на промежутках
[3, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
(x2)ex1=0- \left(x - 2\right) e^{x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = 2

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 2]

Выпуклая на промежутках
[2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(ex1(x+4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x - 1} \left(- x + 4\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(ex1(x+4))=\lim_{x \to \infty}\left(e^{x - 1} \left(- x + 4\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4 - x)*E^(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x+4)ex1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + 4\right) e^{x - 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x(x+4)ex1)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + 4\right) e^{x - 1}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
ex1(x+4)=(x+4)ex1e^{x - 1} \left(- x + 4\right) = \left(x + 4\right) e^{- x - 1}
- Нет
ex1(x+4)=(x+4)ex1e^{x - 1} \left(- x + 4\right) = - \left(x + 4\right) e^{- x - 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной