График функции y = 1/4*x^4-2*x^2+7/4

Вы ввели

        4           
       x       2   7
f(x) = -- - 2*x  + -
       4           4

$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = \sqrt{7}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -2.64575131106459$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 2.64575131106459$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/4 - 2*x^2 + 7/4.
$$\left(\frac{0^{4}}{4} - 2 \cdot 0^{2}\right) + \frac{7}{4}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{7}{4}$$
Точка:

(0, 7/4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{3} - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, -9/4)

(0, 7/4)

(2, -9/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 x^{2} - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 - 2*x^2 + 7/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4} = \left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4}$$
- Да
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + \frac{7}{4} = \left(- \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{2}\right) - \frac{7}{4}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График