График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 4x4−2x2+47=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−1 x2=1 x3=−7 x4=7 Численное решение x1=−2.64575131106459 x2=−1 x3=1 x4=2.64575131106459
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^4/4 - 2*x^2 + 7/4. 404−2⋅02+47 Результат: f(0)=47 Точка:
(0, 7/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная x3−4x=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−2 x2=0 x3=2 Зн. экстремумы в точках:
(-2, -9/4)
(0, 7/4)
(2, -9/4)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=−2 x2=2 Максимумы функции в точках: x2=0 Убывает на промежутках [−2,0]∪[2,∞) Возрастает на промежутках (−∞,−2]∪[0,2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 3x2−4=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−323 x2=323
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (−∞,−323]∪[323,∞) Выпуклая на промежутках [−323,323]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(4x4−2x2+47)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(4x4−2x2+47)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 - 2*x^2 + 7/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x4x4−2x2+47)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x4x4−2x2+47)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 4x4−2x2+47=4x4−2x2+47 - Да 4x4−2x2+47=−4x4+2x2−47 - Нет значит, функция является чётной