График функции y = 1/4*x^4-2*x^2+7/4

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        4           
       x       2   7
f(x) = -- - 2*x  + -
       4           4
f(x)=x442x2+74f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x442x2+74=0\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=7x_{3} = - \sqrt{7}
x4=7x_{4} = \sqrt{7}
Численное решение
x1=2.64575131106459x_{1} = -2.64575131106459
x2=1x_{2} = -1
x3=1x_{3} = 1
x4=2.64575131106459x_{4} = 2.64575131106459
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/4 - 2*x^2 + 7/4.
044202+74\frac{0^{4}}{4} - 2 \cdot 0^{2} + \frac{7}{4}
Результат:
f(0)=74f{\left(0 \right)} = \frac{7}{4}
Точка:
(0, 7/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
x34x=0x^{3} - 4 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -9/4)

(0, 7/4)

(2, -9/4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Максимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Убывает на промежутках
[2,0][2,)\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,2][0,2]\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
3x24=03 x^{2} - 4 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=233x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
x2=233x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,233][233,)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[233,233]\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x442x2+74)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x442x2+74)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 - 2*x^2 + 7/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x442x2+74x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4}}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x442x2+74x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4}}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x442x2+74=x442x2+74\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4} = \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4}
- Да
x442x2+74=x44+2x274\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + \frac{7}{4} = - \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{2} - \frac{7}{4}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = 1/4*x^4-2*x^2+7/4 /media/krcore-image-pods/hash/xy/c/68/9cc13a73e50d3db6f2cb3eb9d070b.png