Графики функций/ Построение в 2D/ y = (sin(x))^3+(cos(x))^3

График функции y = (sin(x))^3+(cos(x))^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3         3   
f(x) = sin (x) + cos (x)
f(x)=sin⁡3(x)+cos⁡3(x)f{\left (x \right )} = \sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020002-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
sin⁡3(x)+cos⁡3(x)=0\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Численное решение
x1=−85.6083998103x_{1} = -85.6083998103
x2=90.3207887907x_{2} = 90.3207887907
x3=−69.9004365424x_{3} = -69.9004365424
x4=−38.4845100065x_{4} = -38.4845100065
x5=96.6039740979x_{5} = 96.6039740979
x6=62.0464549084x_{6} = 62.0464549084
x7=74.6128255228x_{7} = 74.6128255228
x8=−63.6172512352x_{8} = -63.6172512352
x9=77.7544181763x_{9} = 77.7544181763
x10=−76.1836218496x_{10} = -76.1836218496
x11=18.0641577581x_{11} = 18.0641577581
x12=33.7721210261x_{12} = 33.7721210261
x13=−3902.64347392x_{13} = -3902.64347392
x14=40.0553063333x_{14} = 40.0553063333
x15=36.9137136797x_{15} = 36.9137136797
x16=−13.3517687778x_{16} = -13.3517687778
x17=−16.4933614313x_{17} = -16.4933614313
x18=−82.4668071567x_{18} = -82.4668071567
x19=−47.9092879672x_{19} = -47.9092879672
x20=71.4712328692x_{20} = 71.4712328692
x21=−10.2101761242x_{21} = -10.2101761242
x22=80.8960108299x_{22} = 80.8960108299
x23=24.3473430653x_{23} = 24.3473430653
x24=150.011049209x_{24} = 150.011049209
x25=−57.334065928x_{25} = -57.334065928
x26=−98.1747704247x_{26} = -98.1747704247
x27=−54.1924732744x_{27} = -54.1924732744
x28=−204.988920647x_{28} = -204.988920647
x29=11.780972451x_{29} = 11.780972451
x30=−3.92699081699x_{30} = -3.92699081699
x31=68.3296402156x_{31} = 68.3296402156
x32=−25.9181393921x_{32} = -25.9181393921
x33=−19.6349540849x_{33} = -19.6349540849
x34=−32.2013246993x_{34} = -32.2013246993
x35=5.49778714378x_{35} = 5.49778714378
x36=−79.3252145031x_{36} = -79.3252145031
x37=58.9048622548x_{37} = 58.9048622548
x38=−44.7676953137x_{38} = -44.7676953137
x39=1262.13484858x_{39} = 1262.13484858
x40=30.6305283725x_{40} = 30.6305283725
x41=−60.4756585816x_{41} = -60.4756585816
x42=99.7455667515x_{42} = 99.7455667515
x43=52.6216769476x_{43} = 52.6216769476
x44=−35.3429173529x_{44} = -35.3429173529
x45=−41.6261026601x_{45} = -41.6261026601
x46=55.7632696012x_{46} = 55.7632696012
x47=84.0376034835x_{47} = 84.0376034835
x48=46.3384916404x_{48} = 46.3384916404
x49=2.35619449019x_{49} = 2.35619449019
x50=8.63937979737x_{50} = 8.63937979737
x51=−91.8915851175x_{51} = -91.8915851175
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^3 + cos(x)^3.
sin⁡3(0)+cos⁡3(0)\sin^{3}{\left (0 \right )} + \cos^{3}{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3sin⁡2(x)cos⁡(x)−3sin⁡(x)cos⁡2(x)=03 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=−3π4x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}
x3=−π2x_{3} = - \frac{\pi}{2}
x4=π4x_{4} = \frac{\pi}{4}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

           ___  
 -3*pi  -\/ 2   
(-----, -------)
   4       2    

 -pi      
(----, -1)
  2       

       ___ 
 pi  \/ 2  
(--, -----)
 4     2   

 pi    
(--, 1)
 2


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x5=−π2x_{5} = - \frac{\pi}{2}
x5=π4x_{5} = \frac{\pi}{4}
Максимумы функции в точках:
x5=0x_{5} = 0
x5=−3π4x_{5} = - \frac{3 \pi}{4}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
Убывает на промежутках
[pi/4, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -pi/2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
3(−sin⁡3(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)+2sin⁡(x)cos⁡2(x)−cos⁡3(x))=03 \left(- \sin^{3}{\left (x \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
x3=2atan⁡(−32+62−5+3+52)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 3} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}
x4=−2atan⁡(−52+62−5+3+32)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 3} + \frac{3}{2} \right )}
x5=−2atan⁡(52+32+625+3)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \right )}
x6=−2atan⁡(−625+3+52+32)x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right )}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*atan(-sqrt(5)/2 + sqrt(6)*sqrt(-sqrt(5) + 3)/2 + 3/2)]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡3(x)+cos⁡3(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−2,2⟩y = \langle -2, 2\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡3(x)+cos⁡3(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−2,2⟩y = \langle -2, 2\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^3 + cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(sin⁡3(x)+cos⁡3(x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x(sin⁡3(x)+cos⁡3(x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
sin⁡3(x)+cos⁡3(x)=−sin⁡3(x)+cos⁡3(x)\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = - \sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}
- Нет
sin⁡3(x)+cos⁡3(x)=−−1sin⁡3(x)−cos⁡3(x)\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = - -1 \sin^{3}{\left (x \right )} - \cos^{3}{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной