График функции y = (sin(x))^3+(cos(x))^3
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
3 3 f(x) = sin (x) + cos (x)
$$f{\left (x \right )} = \sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -85.6083998103$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = -69.9004365424$$
$$x_{4} = -38.4845100065$$
$$x_{5} = 96.6039740979$$
$$x_{6} = 62.0464549084$$
$$x_{7} = 74.6128255228$$
$$x_{8} = -63.6172512352$$
$$x_{9} = 77.7544181763$$
$$x_{10} = -76.1836218496$$
$$x_{11} = 18.0641577581$$
$$x_{12} = 33.7721210261$$
$$x_{13} = -3902.64347392$$
$$x_{14} = 40.0553063333$$
$$x_{15} = 36.9137136797$$
$$x_{16} = -13.3517687778$$
$$x_{17} = -16.4933614313$$
$$x_{18} = -82.4668071567$$
$$x_{19} = -47.9092879672$$
$$x_{20} = 71.4712328692$$
$$x_{21} = -10.2101761242$$
$$x_{22} = 80.8960108299$$
$$x_{23} = 24.3473430653$$
$$x_{24} = 150.011049209$$
$$x_{25} = -57.334065928$$
$$x_{26} = -98.1747704247$$
$$x_{27} = -54.1924732744$$
$$x_{28} = -204.988920647$$
$$x_{29} = 11.780972451$$
$$x_{30} = -3.92699081699$$
$$x_{31} = 68.3296402156$$
$$x_{32} = -25.9181393921$$
$$x_{33} = -19.6349540849$$
$$x_{34} = -32.2013246993$$
$$x_{35} = 5.49778714378$$
$$x_{36} = -79.3252145031$$
$$x_{37} = 58.9048622548$$
$$x_{38} = -44.7676953137$$
$$x_{39} = 1262.13484858$$
$$x_{40} = 30.6305283725$$
$$x_{41} = -60.4756585816$$
$$x_{42} = 99.7455667515$$
$$x_{43} = 52.6216769476$$
$$x_{44} = -35.3429173529$$
$$x_{45} = -41.6261026601$$
$$x_{46} = 55.7632696012$$
$$x_{47} = 84.0376034835$$
$$x_{48} = 46.3384916404$$
$$x_{49} = 2.35619449019$$
$$x_{50} = 8.63937979737$$
$$x_{51} = -91.8915851175$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -85.6083998103$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = -69.9004365424$$
$$x_{4} = -38.4845100065$$
$$x_{5} = 96.6039740979$$
$$x_{6} = 62.0464549084$$
$$x_{7} = 74.6128255228$$
$$x_{8} = -63.6172512352$$
$$x_{9} = 77.7544181763$$
$$x_{10} = -76.1836218496$$
$$x_{11} = 18.0641577581$$
$$x_{12} = 33.7721210261$$
$$x_{13} = -3902.64347392$$
$$x_{14} = 40.0553063333$$
$$x_{15} = 36.9137136797$$
$$x_{16} = -13.3517687778$$
$$x_{17} = -16.4933614313$$
$$x_{18} = -82.4668071567$$
$$x_{19} = -47.9092879672$$
$$x_{20} = 71.4712328692$$
$$x_{21} = -10.2101761242$$
$$x_{22} = 80.8960108299$$
$$x_{23} = 24.3473430653$$
$$x_{24} = 150.011049209$$
$$x_{25} = -57.334065928$$
$$x_{26} = -98.1747704247$$
$$x_{27} = -54.1924732744$$
$$x_{28} = -204.988920647$$
$$x_{29} = 11.780972451$$
$$x_{30} = -3.92699081699$$
$$x_{31} = 68.3296402156$$
$$x_{32} = -25.9181393921$$
$$x_{33} = -19.6349540849$$
$$x_{34} = -32.2013246993$$
$$x_{35} = 5.49778714378$$
$$x_{36} = -79.3252145031$$
$$x_{37} = 58.9048622548$$
$$x_{38} = -44.7676953137$$
$$x_{39} = 1262.13484858$$
$$x_{40} = 30.6305283725$$
$$x_{41} = -60.4756585816$$
$$x_{42} = 99.7455667515$$
$$x_{43} = 52.6216769476$$
$$x_{44} = -35.3429173529$$
$$x_{45} = -41.6261026601$$
$$x_{46} = 55.7632696012$$
$$x_{47} = 84.0376034835$$
$$x_{48} = 46.3384916404$$
$$x_{49} = 2.35619449019$$
$$x_{50} = 8.63937979737$$
$$x_{51} = -91.8915851175$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)^3 + cos(x)^3.
$$\sin^{3}{\left (0 \right )} + \cos^{3}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
подставляем x = 0 в sin(x)^3 + cos(x)^3.
$$\sin^{3}{\left (0 \right )} + \cos^{3}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{5} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{5} = 0$$
$$x_{5} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
___ -3*pi -\/ 2 (-----, -------) 4 2
-pi (----, -1) 2
___ pi \/ 2 (--, -----) 4 2
pi (--, 1) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{5} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{5} = 0$$
$$x_{5} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
[pi/4, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -pi/2]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 \left(- \sin^{3}{\left (x \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 3} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 3} + \frac{3}{2} \right )}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \right )}$$
$$x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right )}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 \left(- \sin^{3}{\left (x \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 3} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{- \sqrt{5} + 3} + \frac{3}{2} \right )}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} \right )}$$
$$x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\sqrt{5} + 3} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right )}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3*pi/4, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*atan(-sqrt(5)/2 + sqrt(6)*sqrt(-sqrt(5) + 3)/2 + 3/2)]
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^3 + cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = - \sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = - -1 \sin^{3}{\left (x \right )} - \cos^{3}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = - \sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} = - -1 \sin^{3}{\left (x \right )} - \cos^{3}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной