График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sin(x)^3 + cos(x)^3. sin3(0)+cos3(0) Результат: f(0)=1 Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 3sin2(x)cos(x)−3sin(x)cos2(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=−43π x3=−2π x4=4π x5=2π Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
___
-3*pi -\/ 2
(-----, -------)
4 2
-pi
(----, -1)
2
___
pi \/ 2
(--, -----)
4 2
pi
(--, 1)
2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x5=−2π x5=4π Максимумы функции в точках: x5=0 x5=−43π x5=2π Убывает на промежутках
[pi/4, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -pi/2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 3(−sin3(x)+2sin2(x)cos(x)+2sin(x)cos2(x)−cos3(x))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−4π x2=43π x3=2atan(−23+26−5+3+25) x4=−2atan(−25+26−5+3+23) x5=−2atan(25+23+265+3) x6=−2atan(−265+3+25+23)
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(sin3(x)+cos3(x))=⟨−2,2⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨−2,2⟩ x→∞lim(sin3(x)+cos3(x))=⟨−2,2⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨−2,2⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^3 + cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(sin3(x)+cos3(x)))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1(sin3(x)+cos3(x)))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: sin3(x)+cos3(x)=−sin3(x)+cos3(x) - Нет sin3(x)+cos3(x)=−−1sin3(x)−cos3(x) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной