График y = f(x) = asin(sin(x)) (арксинус от (синус от (х))) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = asin(sin(x))

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = asin(sin(x))
$$f{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = -53.407075111$$
$$x_{6} = 358.141562509$$
$$x_{7} = 65.9734457254$$
$$x_{8} = 3.14159265359$$
$$x_{9} = 15.7079632679$$
$$x_{10} = 100.530964915$$
$$x_{11} = 50.2654824574$$
$$x_{12} = -3.14159265359$$
$$x_{13} = 40.8407044967$$
$$x_{14} = -59.6902604182$$
$$x_{15} = 97.3893722613$$
$$x_{16} = 78.5398163397$$
$$x_{17} = -25.1327412287$$
$$x_{18} = -43.9822971503$$
$$x_{19} = 25.1327412287$$
$$x_{20} = -81.6814089933$$
$$x_{21} = -91.1061869541$$
$$x_{22} = 87.9645943005$$
$$x_{23} = 69.115038379$$
$$x_{24} = -34.5575191895$$
$$x_{25} = 28.2743338823$$
$$x_{26} = -31.4159265359$$
$$x_{27} = -100.530964915$$
$$x_{28} = -28.2743338823$$
$$x_{29} = 72.2566310326$$
$$x_{30} = 56.5486677646$$
$$x_{31} = -75.3982236862$$
$$x_{32} = -69.115038379$$
$$x_{33} = -6.28318530718$$
$$x_{34} = -9.42477796077$$
$$x_{35} = 6.28318530718$$
$$x_{36} = 75.3982236862$$
$$x_{37} = -65.9734457254$$
$$x_{38} = -87.9645943005$$
$$x_{39} = -72.2566310326$$
$$x_{40} = 18.8495559215$$
$$x_{41} = -84.8230016469$$
$$x_{42} = 9.42477796077$$
$$x_{43} = -50.2654824574$$
$$x_{44} = -56.5486677646$$
$$x_{45} = 91.1061869541$$
$$x_{46} = 59.6902604182$$
$$x_{47} = -47.1238898038$$
$$x_{48} = 12.5663706144$$
$$x_{49} = -62.8318530718$$
$$x_{50} = 62.8318530718$$
$$x_{51} = -18.8495559215$$
$$x_{52} = -12.5663706144$$
$$x_{53} = -37.6991118431$$
$$x_{54} = -97.3893722613$$
$$x_{55} = 94.2477796077$$
$$x_{56} = 34.5575191895$$
$$x_{57} = -21.9911485751$$
$$x_{58} = 21.9911485751$$
$$x_{59} = 37.6991118431$$
$$x_{60} = -135.088484104$$
$$x_{61} = 53.407075111$$
$$x_{62} = -78.5398163397$$
$$x_{63} = 0$$
$$x_{64} = 43.9822971503$$
$$x_{65} = -40.8407044967$$
$$x_{66} = -15.7079632679$$
$$x_{67} = 47.1238898038$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в asin(sin(x)).
$$\operatorname{asin}{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sqrt{- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\sqrt{- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1}} \left(-1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \frac{\tilde{\infty} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}}{\sqrt{- \sin^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + 1}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{\tilde{\infty} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}}{\sqrt{- \sin^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + 1}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции asin(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \frac{\tilde{\infty} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}}{\sqrt{- \sin^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + 1}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{\tilde{\infty} x \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}}{\sqrt{- \sin^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + 1}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \frac{\tilde{\infty} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}}{\sqrt{- \sin^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + 1}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{\tilde{\infty} x \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}}{\sqrt{- \sin^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )} + 1}}$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - -1 \operatorname{asin}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: