График функции y = 2*x/(2+x^2)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
2*x
f(x) = ------
2
2 + x
$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} + 2}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x}{x^{2} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x}{x^{2} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x)/(2 + x^2).
$$\frac{0 \cdot 2}{0^{2} + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
подставляем x = 0 в (2*x)/(2 + x^2).
$$\frac{0 \cdot 2}{0^{2} + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
___
___ -\/ 2
(-\/ 2, -------)
2 ___
___ \/ 2
(\/ 2, -----)
2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Убывает на промежутках
[-sqrt(2), sqrt(2)]
Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(2)] U [sqrt(2), oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4 x}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = \sqrt{6}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4 x}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = \sqrt{6}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-sqrt(6), 0] U [sqrt(6), oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(6)] U [0, sqrt(6)]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x)/(2 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x^{2} + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x}{x^{2} + 2} = - \frac{2 x}{x^{2} + 2}$$
- Нет
$$\frac{2 x}{x^{2} + 2} = - \frac{-1 \cdot 2 x}{x^{2} + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x}{x^{2} + 2} = - \frac{2 x}{x^{2} + 2}$$
- Нет
$$\frac{2 x}{x^{2} + 2} = - \frac{-1 \cdot 2 x}{x^{2} + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной