График функции y = 2*x/(2+x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2*x  
f(x) = ------
            2
       2 + x 
f(x)=2xx2+2f{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} + 2}
График функции
05-25-20-15-10-5101520252-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2xx2+2=0\frac{2 x}{x^{2} + 2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x)/(2 + x^2).
0202+2\frac{0 \cdot 2}{0^{2} + 2}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
4x2(x2+2)2+2x2+2=0- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} + 2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Зн. экстремумы в точках:
            ___  
    ___  -\/ 2   
(-\/ 2, -------)
            2    

          ___ 
   ___  \/ 2  
(\/ 2, -----)
          2   


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = - \sqrt{2}
Максимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Убывает на промежутках
[-sqrt(2), sqrt(2)]

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(2)] U [sqrt(2), oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
4x(x2+2)2(4x2x2+23)=0\frac{4 x}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = - \sqrt{6}
x3=6x_{3} = \sqrt{6}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-sqrt(6), 0] U [sqrt(6), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(6)] U [0, sqrt(6)]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2xx2+2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 2}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(2xx2+2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x^{2} + 2}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x)/(2 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x2+2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{x^{2} + 2}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(2x2+2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x^{2} + 2}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2xx2+2=2xx2+2\frac{2 x}{x^{2} + 2} = - \frac{2 x}{x^{2} + 2}
- Нет
2xx2+2=12xx2+2\frac{2 x}{x^{2} + 2} = - \frac{-1 \cdot 2 x}{x^{2} + 2}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной