График функции y = (x^2+2*x+21)/(x-3)

        2           
       x  + 2*x + 21
f(x) = -------------
           x - 3    

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 2*x + 21)/(x - 3).
$$\frac{1}{-3} \left(0^{2} + 0 \cdot 2 + 21\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -7$$
Точка:

(0, -7)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x + 2}{x - 3} - \frac{x^{2} + 2 x + 21}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 9$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, -4)

(9, 20)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 9$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -3$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3] U [9, oo)

Возрастает на промежутках

[-3, 9]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 3} \left(2 - \frac{4 x + 4}{x - 3} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} \left(2 x^{2} + 4 x + 42\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = 3$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 2*x + 21)/(x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3} = \frac{x^{2} - 2 x + 21}{- x - 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3} = - \frac{x^{2} - 2 x + 21}{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной