График функции y = (x^2+2*x+21)/(x-3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2           
       x  + 2*x + 21
f(x) = -------------
           x - 3    
f(x)=x2+2x+21x3f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3}
График функции
0-18-16-14-12-10-8-6-4-20-20
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = 3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2+2x+21x3=0\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 2*x + 21)/(x - 3).
13(02+02+21)\frac{1}{-3} \left(0^{2} + 0 \cdot 2 + 21\right)
Результат:
f(0)=7f{\left (0 \right )} = -7
Точка:
(0, -7)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x+2x3x2+2x+21(x3)2=0\frac{2 x + 2}{x - 3} - \frac{x^{2} + 2 x + 21}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3x_{1} = -3
x2=9x_{2} = 9
Зн. экстремумы в точках:
(-3, -4)

(9, 20)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=9x_{2} = 9
Максимумы функции в точках:
x2=3x_{2} = -3
Убывает на промежутках
(-oo, -3] U [9, oo)

Возрастает на промежутках
[-3, 9]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x3(24x+4x3+1(x3)2(2x2+4x+42))=0\frac{1}{x - 3} \left(2 - \frac{4 x + 4}{x - 3} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} \left(2 x^{2} + 4 x + 42\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = 3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2+2x+21x3)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x2+2x+21x3)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 2*x + 21)/(x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x2+2x+21x(x3))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
limx(x2+2x+21x(x3))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2+2x+21x3=x22x+21x3\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3} = \frac{x^{2} - 2 x + 21}{- x - 3}
- Нет
x2+2x+21x3=x22x+21x3\frac{x^{2} + 2 x + 21}{x - 3} = - \frac{x^{2} - 2 x + 21}{- x - 3}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной