Точки, в которых функция точно неопределена: x1=3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x−3x2+2x+21=0 Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x^2 + 2*x + 21)/(x - 3). −31(02+0⋅2+21) Результат: f(0)=−7 Точка:
(0, -7)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x−32x+2−(x−3)2x2+2x+21=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−3 x2=9 Зн. экстремумы в точках:
(-3, -4)
(9, 20)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=9 Максимумы функции в точках: x2=−3 Убывает на промежутках
(-oo, -3] U [9, oo)
Возрастает на промежутках
[-3, 9]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x−31(2−x−34x+4+(x−3)21(2x2+4x+42))=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x−3x2+2x+21)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x−3x2+2x+21)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 2*x + 21)/(x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(x−3)x2+2x+21)=1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=x x→∞lim(x(x−3)x2+2x+21)=1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x−3x2+2x+21=−x−3x2−2x+21 - Нет x−3x2+2x+21=−−x−3x2−2x+21 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной