График функции y = 3*x*e^(-sqrt(x))

Вы ввели

               ___
            -\/ x 
f(x) = 3*x*E      

$$f{\left (x \right )} = e^{- \sqrt{x}} 3 x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- \sqrt{x}} 3 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3*x)*E^(-sqrt(x)).
$$0 \cdot 3 e^{- 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3 \sqrt{x}}{2} e^{- \sqrt{x}} + 3 e^{- \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:

        -2 
(4, 12*e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Убывает на промежутках

(-oo, 4]

Возрастает на промежутках

[4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{3}{4} \left(1 - \frac{3}{\sqrt{x}}\right) e^{- \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 9$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[9, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 9]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
Предел слева не удалось вычислить
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- \sqrt{x}} 3 x\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- \sqrt{x}} 3 x\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3*x)*E^(-sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
Предел слева не удалось вычислить
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 e^{- \sqrt{x}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 e^{- \sqrt{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- \sqrt{x}} 3 x = - 3 x e^{- \sqrt{- x}}$$
- Нет
$$e^{- \sqrt{x}} 3 x = - -1 \cdot 3 x e^{- \sqrt{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной