График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$e^{- \sqrt{x}} 3 x = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = 0$$ Численное решение $$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (3*x)*E^(-sqrt(x)). $$0 \cdot 3 e^{- 0}$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 0$$ Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$- \frac{3 \sqrt{x}}{2} e^{- \sqrt{x}} + 3 e^{- \sqrt{x}} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 4$$ Зн. экстремумы в точках:
-2
(4, 12*e )
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: $$x_{1} = 4$$ Убывает на промежутках
(-oo, 4]
Возрастает на промежутках
[4, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{3}{4} \left(1 - \frac{3}{\sqrt{x}}\right) e^{- \sqrt{x}} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 9$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[9, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 9]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo Предел слева не удалось вычислить $$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- \sqrt{x}} 3 x\right)$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- \sqrt{x}} 3 x\right) = 0$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: $$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3*x)*E^(-sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo Предел слева не удалось вычислить $$\lim_{x \to -\infty}\left(3 e^{- \sqrt{x}}\right)$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(3 e^{- \sqrt{x}}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$e^{- \sqrt{x}} 3 x = - 3 x e^{- \sqrt{- x}}$$ - Нет $$e^{- \sqrt{x}} 3 x = - -1 \cdot 3 x e^{- \sqrt{- x}}$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной