График функции y = x^3+x^2-8*x+1

Вы ввели

        3    2          
f(x) = x  + x  - 8*x + 1

$$f{\left(x \right)} = x^{3} + x^{2} - 8 x + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + x^{2} - 8 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{\frac{101}{2} + \frac{3 \sqrt{5811} i}{2}}}{3} - \frac{25}{3 \sqrt[3]{\frac{101}{2} + \frac{3 \sqrt{5811} i}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.42269860265109$$
$$x_{2} = 2.29541572359092$$
$$x_{3} = 0.127282879060175$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + x^2 - 8*x + 1.
$$0^{3} + 0^{2} - 8 \cdot 0 + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 13)

      -149  
(4/3, -----)
        27  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-2, \frac{4}{3}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + x^{2} - 8 x + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + x^{2} - 8 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + x^2 - 8*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + x^{2} - 8 x + 1 = - x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$$
- Нет
$$x^{3} + x^{2} - 8 x + 1 = x^{3} - x^{2} - 8 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График