График функции y = 1-cos(2*x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
f(x) = 1 - cos(2*x)
$$f{\left (x \right )} = - \cos{\left (2 x \right )} + 1$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \cos{\left (2 x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 53.4070756765$$
$$x_{2} = -6371388.66252$$
$$x_{3} = 37.6991120192$$
$$x_{4} = -28.2743337166$$
$$x_{5} = -106.814150358$$
$$x_{6} = 72.2566310277$$
$$x_{7} = -15.7079632965$$
$$x_{8} = 91.1061867314$$
$$x_{9} = -47.1238901511$$
$$x_{10} = 6.28318528425$$
$$x_{11} = 59.6902605977$$
$$x_{12} = -84.8230014101$$
$$x_{13} = 47.1238895894$$
$$x_{14} = 97.3893725149$$
$$x_{15} = 43.9822971694$$
$$x_{16} = -50.2654822953$$
$$x_{17} = 3.14159287686$$
$$x_{18} = -62.8318528379$$
$$x_{19} = -81.681409038$$
$$x_{20} = -100.530964673$$
$$x_{21} = 75.3982239389$$
$$x_{22} = -87.9645943588$$
$$x_{23} = 34.5575190305$$
$$x_{24} = -40.840704266$$
$$x_{25} = 31.4159267865$$
$$x_{26} = 91.1061871584$$
$$x_{27} = -25.1327414731$$
$$x_{28} = 97.3893727097$$
$$x_{29} = 69.1150385886$$
$$x_{30} = -25.1327416321$$
$$x_{31} = 87.9645943358$$
$$x_{32} = 69.1150381602$$
$$x_{33} = 9.42477821024$$
$$x_{34} = -69.1150386737$$
$$x_{35} = 12.5663704519$$
$$x_{36} = -3.14159311568$$
$$x_{37} = 18.8495554002$$
$$x_{38} = -69.1150386253$$
$$x_{39} = 3.14159244884$$
$$x_{40} = -31.415926796$$
$$x_{41} = -72.2566308741$$
$$x_{42} = 62.8318524523$$
$$x_{43} = -94.247779453$$
$$x_{44} = 0$$
$$x_{45} = -40.8407046898$$
$$x_{46} = 31.4159271479$$
$$x_{47} = -47.1238900493$$
$$x_{48} = -1734.15914476$$
$$x_{49} = 25.1327410189$$
$$x_{50} = -18.8495561207$$
$$x_{51} = 75.3982241945$$
$$x_{52} = 25.1327414478$$
$$x_{53} = 62.8318528327$$
$$x_{54} = -12.5663703661$$
$$x_{55} = -31.4159267052$$
$$x_{56} = 53.4070753627$$
$$x_{57} = 15.7079634407$$
$$x_{58} = -34.5575189426$$
$$x_{59} = -21.9911485865$$
$$x_{60} = 84.8230014093$$
$$x_{61} = 100.530964767$$
$$x_{62} = -78.5398160958$$
$$x_{63} = 65.9734457529$$
$$x_{64} = 56.5486676091$$
$$x_{65} = -6.28318513794$$
$$x_{66} = 40.8407039199$$
$$x_{67} = -12.5663700417$$
$$x_{68} = -75.398223862$$
$$x_{69} = 40.8407042561$$
$$x_{70} = 84.8230010167$$
$$x_{71} = 94.2477796094$$
$$x_{72} = 9.4247785908$$
$$x_{73} = -43.9822971746$$
$$x_{74} = 50.2654824463$$
$$x_{75} = -65.973445765$$
$$x_{76} = 18.8495556796$$
$$x_{77} = -3.14159289677$$
$$x_{78} = -91.1061872003$$
$$x_{79} = -97.3893724404$$
$$x_{80} = -59.6902604576$$
$$x_{81} = -91.1061872013$$
$$x_{82} = -37.6991118772$$
$$x_{83} = 78.5398161878$$
$$x_{84} = 47.1238900184$$
$$x_{85} = 21.9911485852$$
$$x_{86} = -56.5486675192$$
$$x_{87} = -84.8230018263$$
$$x_{88} = -53.4070752836$$
$$x_{89} = -9.42477812668$$
$$x_{90} = -62.8318532584$$
$$x_{91} = -34.5575189701$$
$$x_{92} = -18.8495556944$$
$$x_{93} = 28.2743338652$$
$$x_{94} = 81.6814091761$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - cos(2*x).
$$- \cos{\left (0 \cdot 2 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \sin{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

 pi    
(--, 2)
 2     


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
[0, pi/2]

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [pi/2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках
[pi/4, 3*pi/4]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \cos{\left (2 x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \cos{\left (2 x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - cos(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \cos{\left (2 x \right )} + 1 = - \cos{\left (2 x \right )} + 1$$
- Да
$$- \cos{\left (2 x \right )} + 1 = - -1 \cos{\left (2 x \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной