Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная$$- \frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого ур-ния
$$x_{1} = 99.7455667515$$
$$x_{2} = 21.2057504117$$
$$x_{3} = 90.3207887907$$
$$x_{4} = -69.9004365424$$
$$x_{5} = -38.4845100065$$
$$x_{6} = -73.042029196$$
$$x_{7} = 96.6039740979$$
$$x_{8} = 62.0464549084$$
$$x_{9} = 74.6128255228$$
$$x_{10} = -63.6172512352$$
$$x_{11} = 77.7544181763$$
$$x_{12} = -76.1836218496$$
$$x_{13} = -22.7765467385$$
$$x_{14} = 18.0641577581$$
$$x_{15} = 33.7721210261$$
$$x_{16} = 49.480084294$$
$$x_{17} = 36.9137136797$$
$$x_{18} = -13.3517687778$$
$$x_{19} = -88.7499924639$$
$$x_{20} = -16.4933614313$$
$$x_{21} = -85.6083998103$$
$$x_{22} = -82.4668071567$$
$$x_{23} = -47.9092879672$$
$$x_{24} = 71.4712328692$$
$$x_{25} = -10.2101761242$$
$$x_{26} = 80.8960108299$$
$$x_{27} = -0.785398163397$$
$$x_{28} = 24.3473430653$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = 93.4623814443$$
$$x_{31} = -29.0597320457$$
$$x_{32} = 43.1968989869$$
$$x_{33} = 14.9225651046$$
$$x_{34} = -98.1747704247$$
$$x_{35} = -95.0331777711$$
$$x_{36} = 40.0553063333$$
$$x_{37} = 65.188047562$$
$$x_{38} = -66.7588438888$$
$$x_{39} = 11.780972451$$
$$x_{40} = -3.92699081699$$
$$x_{41} = 68.3296402156$$
$$x_{42} = -25.9181393921$$
$$x_{43} = 52.6216769476$$
$$x_{44} = -19.6349540849$$
$$x_{45} = -32.2013246993$$
$$x_{46} = 5.49778714378$$
$$x_{47} = -79.3252145031$$
$$x_{48} = 58.9048622548$$
$$x_{49} = -44.7676953137$$
$$x_{50} = 30.6305283725$$
$$x_{51} = -60.4756585816$$
$$x_{52} = 87.1791961371$$
$$x_{53} = -57.334065928$$
$$x_{54} = -107.599548385$$
$$x_{55} = -35.3429173529$$
$$x_{56} = -41.6261026601$$
$$x_{57} = 55.7632696012$$
$$x_{58} = 84.0376034835$$
$$x_{59} = 46.3384916404$$
$$x_{60} = -51.0508806208$$
$$x_{61} = 27.4889357189$$
$$x_{62} = 2.35619449019$$
$$x_{63} = 8.63937979737$$
$$x_{64} = -7.06858347058$$
$$x_{65} = -91.8915851175$$
$$x_{66} = -1439.63483351$$
Зн. экстремумы в точках:
-0.707106781169536
(99.7455667515, -----------------------)
/ pi\
sin|99.7455667515 + --|
\ 4 /
0.707106781208543
(21.2057504117, -----------------------)
/ pi\
sin|21.2057504117 + --|
\ 4 /
0.707106781191178
(90.3207887907, -----------------------)
/ pi\
sin|90.3207887907 + --|
\ 4 /
-0.707106781205711
(-69.9004365424, -----------------------)
/ pi\
cos|69.9004365424 + --|
\ 4 /
-0.70710678120425
(-38.4845100065, -----------------------)
/ pi\
cos|38.4845100065 + --|
\ 4 /
0.707106781212929
(-73.042029196, ----------------------)
/ pi\
cos|73.042029196 + --|
\ 4 /
0.707106781176753
(96.6039740979, -----------------------)
/ pi\
sin|96.6039740979 + --|
\ 4 /
-0.707106781185427
(62.0464549084, -----------------------)
/ pi\
sin|62.0464549084 + --|
\ 4 /
-0.707106781156563
(74.6128255228, -----------------------)
/ pi\
sin|74.6128255228 + --|
\ 4 /
-0.707106781191277
(-63.6172512352, -----------------------)
/ pi\
cos|63.6172512352 + --|
\ 4 /
0.707106781220047
(77.7544181763, -----------------------)
/ pi\
sin|77.7544181763 + --|
\ 4 /
-0.707106781220146
(-76.1836218496, -----------------------)
/ pi\
cos|76.1836218496 + --|
\ 4 /
0.707106781168161
(-22.7765467385, -----------------------)
/ pi\
cos|22.7765467385 + --|
\ 4 /
-0.70710678121576
(18.0641577581, -----------------------)
/ pi\
sin|18.0641577581 + --|
\ 4 /
0.707106781179671
(33.7721210261, -----------------------)
/ pi\
sin|33.7721210261 + --|
\ 4 /
-0.707106781214296
(49.480084294, ----------------------)
/ pi\
sin|49.480084294 + --|
\ 4 /
-0.707106781172454
(36.9137136797, -----------------------)
/ pi\
sin|36.9137136797 + --|
\ 4 /
-0.707106781217221
(-13.3517687778, -----------------------)
/ pi\
cos|13.3517687778 + --|
\ 4 /
-0.707106781178303
(-88.7499924639, -----------------------)
/ pi\
cos|88.7499924639 + --|
\ 4 /
0.707106781153726
(-16.4933614313, -----------------------)
/ pi\
cos|16.4933614313 + --|
\ 4 /
0.707106781171086
(-85.6083998103, -----------------------)
/ pi\
cos|85.6083998103 + --|
\ 4 /
-0.707106781163869
(-82.4668071567, -----------------------)
/ pi\
cos|82.4668071567 + --|
\ 4 /
0.70710678115519
(-47.9092879672, -----------------------)
/ pi\
cos|47.9092879672 + --|
\ 4 /
0.70710678116378
(71.4712328692, -----------------------)
/ pi\
sin|71.4712328692 + --|
\ 4 /
0.707106781210004
(-10.2101761242, -----------------------)
/ pi\
cos|10.2101761242 + --|
\ 4 /
-0.70710678121283
(80.8960108299, -----------------------)
/ pi\
sin|80.8960108299 + --|
\ 4 /
-0.70710678118623
(-0.785398163397, ------------------------)
/ pi\
cos|0.785398163397 + --|
\ 4 /
-0.707106781201325
(24.3473430653, -----------------------)
/ pi\
sin|24.3473430653 + --|
\ 4 /
0.707106781169625
(-54.1924732744, -----------------------)
/ pi\
cos|54.1924732744 + --|
\ 4 /
-0.707106781183971
(93.4623814443, -----------------------)
/ pi\
sin|93.4623814443 + --|
\ 4 /
0.707106781182596
(-29.0597320457, -----------------------)
/ pi\
cos|29.0597320457 + --|
\ 4 /
-0.707106781158019
(43.1968989869, -----------------------)
/ pi\
sin|43.1968989869 + --|
\ 4 /
0.707106781152265
(14.9225651046, -----------------------)
/ pi\
sin|14.9225651046 + --|
\ 4 /
0.707106781199955
(-98.1747704247, -----------------------)
/ pi\
cos|98.1747704247 + --|
\ 4 /
-0.707106781192738
(-95.0331777711, -----------------------)
/ pi\
cos|95.0331777711 + --|
\ 4 /
0.707106781165236
(40.0553063333, -----------------------)
/ pi\
sin|40.0553063333 + --|
\ 4 /
0.707106781178215
(65.188047562, ----------------------)
/ pi\
sin|65.188047562 + --|
\ 4 /
0.707106781198494
(-66.7588438888, -----------------------)
/ pi\
cos|66.7588438888 + --|
\ 4 /
-0.707106781159483
(11.780972451, ----------------------)
/ pi\
sin|11.780972451 + --|
\ 4 /
0.707106781188498
(-3.92699081699, -----------------------)
/ pi\
cos|3.92699081699 + --|
\ 4 /
-0.707106781170997
(68.3296402156, -----------------------)
/ pi\
sin|68.3296402156 + --|
\ 4 /
-0.707106781175378
(-25.9181393921, -----------------------)
/ pi\
cos|25.9181393921 + --|
\ 4 /
0.707106781207079
(52.6216769476, -----------------------)
/ pi\
sin|52.6216769476 + --|
\ 4 /
-0.707106781160944
(-19.6349540849, -----------------------)
/ pi\
cos|19.6349540849 + --|
\ 4 /
-0.707106781189816
(-32.2013246993, -----------------------)
/ pi\
cos|32.2013246993 + --|
\ 4 /
-0.707106781188059
(5.49778714378, -----------------------)
/ pi\
sin|5.49778714378 + --|
\ 4 /
0.707106781156651
(-79.3252145031, -----------------------)
/ pi\
cos|79.3252145031 + --|
\ 4 /
0.707106781192644
(58.9048622548, -----------------------)
/ pi\
sin|58.9048622548 + --|
\ 4 /
-0.707106781218685
(-44.7676953137, -----------------------)
/ pi\
cos|44.7676953137 + --|
\ 4 /
-0.707106781186891
(30.6305283725, -----------------------)
/ pi\
sin|30.6305283725 + --|
\ 4 /
0.707106781184059
(-60.4756585816, -----------------------)
/ pi\
cos|60.4756585816 + --|
\ 4 /
-0.707106781198395
(87.1791961371, -----------------------)
/ pi\
sin|87.1791961371 + --|
\ 4 /
-0.707106781176842
(-57.334065928, ----------------------)
/ pi\
cos|57.334065928 + --|
\ 4 /
-0.707106780868058
(-107.599548385, -----------------------)
/ pi\
cos|107.599548385 + --|
\ 4 /
0.707106781197033
(-35.3429173529, -----------------------)
/ pi\
cos|35.3429173529 + --|
\ 4 /
0.707106781211468
(-41.6261026601, -----------------------)
/ pi\
cos|41.6261026601 + --|
\ 4 /
-0.707106781199862
(55.7632696012, -----------------------)
/ pi\
sin|55.7632696012 + --|
\ 4 /
0.707106781205613
(84.0376034835, -----------------------)
/ pi\
sin|84.0376034835 + --|
\ 4 /
0.707106781221513
(46.3384916404, -----------------------)
/ pi\
sin|46.3384916404 + --|
\ 4 /
-0.707106781162408
(-51.0508806208, -----------------------)
/ pi\
cos|51.0508806208 + --|
\ 4 /
0.707106781194108
(27.4889357189, -----------------------)
/ pi\
sin|27.4889357189 + --|
\ 4 /
0.707106781188206
(2.35619449019, -----------------------)
/ pi\
sin|2.35619449019 + --|
\ 4 /
0.707106781187914
(8.63937979737, -----------------------)
/ pi\
sin|8.63937979737 + --|
\ 4 /
-0.707106781188644
(-7.06858347058, -----------------------)
/ pi\
cos|7.06858347058 + --|
\ 4 /
0.707106781185521
(-91.8915851175, -----------------------)
/ pi\
cos|91.8915851175 + --|
\ 4 /
-0.707106782938161
(-1439.63483351, -----------------------)
/ pi\
cos|1439.63483351 + --|
\ 4 /
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{66} = 99.7455667515$$
$$x_{66} = 96.6039740979$$
$$x_{66} = 62.0464549084$$
$$x_{66} = 74.6128255228$$
$$x_{66} = -22.7765467385$$
$$x_{66} = 33.7721210261$$
$$x_{66} = 36.9137136797$$
$$x_{66} = -88.7499924639$$
$$x_{66} = -16.4933614313$$
$$x_{66} = -85.6083998103$$
$$x_{66} = -82.4668071567$$
$$x_{66} = -47.9092879672$$
$$x_{66} = 71.4712328692$$
$$x_{66} = -0.785398163397$$
$$x_{66} = -54.1924732744$$
$$x_{66} = 93.4623814443$$
$$x_{66} = -29.0597320457$$
$$x_{66} = 43.1968989869$$
$$x_{66} = 14.9225651046$$
$$x_{66} = 40.0553063333$$
$$x_{66} = 65.188047562$$
$$x_{66} = 11.780972451$$
$$x_{66} = 68.3296402156$$
$$x_{66} = -25.9181393921$$
$$x_{66} = -19.6349540849$$
$$x_{66} = -79.3252145031$$
$$x_{66} = -60.4756585816$$
$$x_{66} = -57.334065928$$
$$x_{66} = -107.599548385$$
$$x_{66} = -51.0508806208$$
$$x_{66} = -91.8915851175$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{66} = 21.2057504117$$
$$x_{66} = 90.3207887907$$
$$x_{66} = -69.9004365424$$
$$x_{66} = -38.4845100065$$
$$x_{66} = -73.042029196$$
$$x_{66} = -63.6172512352$$
$$x_{66} = 77.7544181763$$
$$x_{66} = -76.1836218496$$
$$x_{66} = 18.0641577581$$
$$x_{66} = 49.480084294$$
$$x_{66} = -13.3517687778$$
$$x_{66} = -10.2101761242$$
$$x_{66} = 80.8960108299$$
$$x_{66} = 24.3473430653$$
$$x_{66} = -98.1747704247$$
$$x_{66} = -95.0331777711$$
$$x_{66} = -66.7588438888$$
$$x_{66} = -3.92699081699$$
$$x_{66} = 52.6216769476$$
$$x_{66} = -32.2013246993$$
$$x_{66} = 5.49778714378$$
$$x_{66} = 58.9048622548$$
$$x_{66} = -44.7676953137$$
$$x_{66} = 30.6305283725$$
$$x_{66} = 87.1791961371$$
$$x_{66} = -35.3429173529$$
$$x_{66} = -41.6261026601$$
$$x_{66} = 55.7632696012$$
$$x_{66} = 84.0376034835$$
$$x_{66} = 46.3384916404$$
$$x_{66} = 27.4889357189$$
$$x_{66} = 2.35619449019$$
$$x_{66} = 8.63937979737$$
$$x_{66} = -7.06858347058$$
$$x_{66} = -1439.63483351$$
Убывает на промежутках
[99.7455667515, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -107.599548385]