График функции y = (sin(x))/(sin(x+pi/4))

Вы ввели

          sin(x)  
f(x) = -----------
          /    pi\
       sin|x + --|
          \    4 /

$$f{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = 31.4159265359$$
$$x_{3} = 81.6814089933$$
$$x_{4} = 84.8230016469$$
$$x_{5} = -53.407075111$$
$$x_{6} = 65.9734457254$$
$$x_{7} = 3.14159265359$$
$$x_{8} = 15.7079632679$$
$$x_{9} = 100.530964915$$
$$x_{10} = 50.2654824574$$
$$x_{11} = -3.14159265359$$
$$x_{12} = 40.8407044967$$
$$x_{13} = -59.6902604182$$
$$x_{14} = 97.3893722613$$
$$x_{15} = 78.5398163397$$
$$x_{16} = -25.1327412287$$
$$x_{17} = -43.9822971503$$
$$x_{18} = 25.1327412287$$
$$x_{19} = -81.6814089933$$
$$x_{20} = -91.1061869541$$
$$x_{21} = 87.9645943005$$
$$x_{22} = 69.115038379$$
$$x_{23} = -34.5575191895$$
$$x_{24} = 28.2743338823$$
$$x_{25} = -31.4159265359$$
$$x_{26} = 37.6991118431$$
$$x_{27} = -28.2743338823$$
$$x_{28} = 72.2566310326$$
$$x_{29} = 56.5486677646$$
$$x_{30} = -75.3982236862$$
$$x_{31} = -69.115038379$$
$$x_{32} = -6.28318530718$$
$$x_{33} = -9.42477796077$$
$$x_{34} = 6.28318530718$$
$$x_{35} = 75.3982236862$$
$$x_{36} = -65.9734457254$$
$$x_{37} = -87.9645943005$$
$$x_{38} = -72.2566310326$$
$$x_{39} = 18.8495559215$$
$$x_{40} = -267.035375555$$
$$x_{41} = -84.8230016469$$
$$x_{42} = 9.42477796077$$
$$x_{43} = -50.2654824574$$
$$x_{44} = -56.5486677646$$
$$x_{45} = -232.477856366$$
$$x_{46} = -2642.07942167$$
$$x_{47} = 91.1061869541$$
$$x_{48} = 59.6902604182$$
$$x_{49} = -47.1238898038$$
$$x_{50} = 12.5663706144$$
$$x_{51} = -62.8318530718$$
$$x_{52} = 62.8318530718$$
$$x_{53} = -18.8495559215$$
$$x_{54} = -12.5663706144$$
$$x_{55} = -37.6991118431$$
$$x_{56} = -97.3893722613$$
$$x_{57} = 94.2477796077$$
$$x_{58} = 34.5575191895$$
$$x_{59} = -21.9911485751$$
$$x_{60} = 21.9911485751$$
$$x_{61} = -100.530964915$$
$$x_{62} = 53.407075111$$
$$x_{63} = -113.097335529$$
$$x_{64} = -78.5398163397$$
$$x_{65} = 0$$
$$x_{66} = 43.9822971503$$
$$x_{67} = -40.8407044967$$
$$x_{68} = -15.7079632679$$
$$x_{69} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/sin(x + pi/4).
$$\frac{\sin{\left (0 \right )}}{\sin{\left (\frac{\pi}{4} \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 99.7455667515$$
$$x_{2} = 21.2057504117$$
$$x_{3} = 90.3207887907$$
$$x_{4} = -69.9004365424$$
$$x_{5} = -38.4845100065$$
$$x_{6} = -73.042029196$$
$$x_{7} = 96.6039740979$$
$$x_{8} = 62.0464549084$$
$$x_{9} = 74.6128255228$$
$$x_{10} = -63.6172512352$$
$$x_{11} = 77.7544181763$$
$$x_{12} = -76.1836218496$$
$$x_{13} = -22.7765467385$$
$$x_{14} = 18.0641577581$$
$$x_{15} = 33.7721210261$$
$$x_{16} = 49.480084294$$
$$x_{17} = 36.9137136797$$
$$x_{18} = -13.3517687778$$
$$x_{19} = -88.7499924639$$
$$x_{20} = -16.4933614313$$
$$x_{21} = -85.6083998103$$
$$x_{22} = -82.4668071567$$
$$x_{23} = -47.9092879672$$
$$x_{24} = 71.4712328692$$
$$x_{25} = -10.2101761242$$
$$x_{26} = 80.8960108299$$
$$x_{27} = -0.785398163397$$
$$x_{28} = 24.3473430653$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = 93.4623814443$$
$$x_{31} = -29.0597320457$$
$$x_{32} = 43.1968989869$$
$$x_{33} = 14.9225651046$$
$$x_{34} = -98.1747704247$$
$$x_{35} = -95.0331777711$$
$$x_{36} = 40.0553063333$$
$$x_{37} = 65.188047562$$
$$x_{38} = -66.7588438888$$
$$x_{39} = 11.780972451$$
$$x_{40} = -3.92699081699$$
$$x_{41} = 68.3296402156$$
$$x_{42} = -25.9181393921$$
$$x_{43} = 52.6216769476$$
$$x_{44} = -19.6349540849$$
$$x_{45} = -32.2013246993$$
$$x_{46} = 5.49778714378$$
$$x_{47} = -79.3252145031$$
$$x_{48} = 58.9048622548$$
$$x_{49} = -44.7676953137$$
$$x_{50} = 30.6305283725$$
$$x_{51} = -60.4756585816$$
$$x_{52} = 87.1791961371$$
$$x_{53} = -57.334065928$$
$$x_{54} = -107.599548385$$
$$x_{55} = -35.3429173529$$
$$x_{56} = -41.6261026601$$
$$x_{57} = 55.7632696012$$
$$x_{58} = 84.0376034835$$
$$x_{59} = 46.3384916404$$
$$x_{60} = -51.0508806208$$
$$x_{61} = 27.4889357189$$
$$x_{62} = 2.35619449019$$
$$x_{63} = 8.63937979737$$
$$x_{64} = -7.06858347058$$
$$x_{65} = -91.8915851175$$
$$x_{66} = -1439.63483351$$
Зн. экстремумы в точках:

                   -0.707106781169536   
(99.7455667515, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|99.7455667515 + --| 
                   \                4 / 

                   0.707106781208543    
(21.2057504117, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|21.2057504117 + --| 
                   \                4 / 

                   0.707106781191178    
(90.3207887907, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|90.3207887907 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781205711   
(-69.9004365424, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|69.9004365424 + --| 
                    \                4 / 

                    -0.70710678120425    
(-38.4845100065, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|38.4845100065 + --| 
                    \                4 / 

                  0.707106781212929    
(-73.042029196, ----------------------)
                   /               pi\ 
                cos|73.042029196 + --| 
                   \               4 / 

                   0.707106781176753    
(96.6039740979, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|96.6039740979 + --| 
                   \                4 / 

                   -0.707106781185427   
(62.0464549084, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|62.0464549084 + --| 
                   \                4 / 

                   -0.707106781156563   
(74.6128255228, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|74.6128255228 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781191277   
(-63.6172512352, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|63.6172512352 + --| 
                    \                4 / 

                   0.707106781220047    
(77.7544181763, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|77.7544181763 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781220146   
(-76.1836218496, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|76.1836218496 + --| 
                    \                4 / 

                    0.707106781168161    
(-22.7765467385, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|22.7765467385 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.70710678121576    
(18.0641577581, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|18.0641577581 + --| 
                   \                4 / 

                   0.707106781179671    
(33.7721210261, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|33.7721210261 + --| 
                   \                4 / 

                 -0.707106781214296   
(49.480084294, ----------------------)
                  /               pi\ 
               sin|49.480084294 + --| 
                  \               4 / 

                   -0.707106781172454   
(36.9137136797, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|36.9137136797 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781217221   
(-13.3517687778, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|13.3517687778 + --| 
                    \                4 / 

                    -0.707106781178303   
(-88.7499924639, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|88.7499924639 + --| 
                    \                4 / 

                    0.707106781153726    
(-16.4933614313, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|16.4933614313 + --| 
                    \                4 / 

                    0.707106781171086    
(-85.6083998103, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|85.6083998103 + --| 
                    \                4 / 

                    -0.707106781163869   
(-82.4668071567, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|82.4668071567 + --| 
                    \                4 / 

                     0.70710678115519    
(-47.9092879672, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|47.9092879672 + --| 
                    \                4 / 

                    0.70710678116378    
(71.4712328692, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|71.4712328692 + --| 
                   \                4 / 

                    0.707106781210004    
(-10.2101761242, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|10.2101761242 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.70710678121283    
(80.8960108299, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|80.8960108299 + --| 
                   \                4 / 

                     -0.70710678118623     
(-0.785398163397, ------------------------)
                     /                 pi\ 
                  cos|0.785398163397 + --| 
                     \                 4 / 

                   -0.707106781201325   
(24.3473430653, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|24.3473430653 + --| 
                   \                4 / 

                    0.707106781169625    
(-54.1924732744, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|54.1924732744 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.707106781183971   
(93.4623814443, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|93.4623814443 + --| 
                   \                4 / 

                    0.707106781182596    
(-29.0597320457, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|29.0597320457 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.707106781158019   
(43.1968989869, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|43.1968989869 + --| 
                   \                4 / 

                   0.707106781152265    
(14.9225651046, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|14.9225651046 + --| 
                   \                4 / 

                    0.707106781199955    
(-98.1747704247, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|98.1747704247 + --| 
                    \                4 / 

                    -0.707106781192738   
(-95.0331777711, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|95.0331777711 + --| 
                    \                4 / 

                   0.707106781165236    
(40.0553063333, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|40.0553063333 + --| 
                   \                4 / 

                 0.707106781178215    
(65.188047562, ----------------------)
                  /               pi\ 
               sin|65.188047562 + --| 
                  \               4 / 

                    0.707106781198494    
(-66.7588438888, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|66.7588438888 + --| 
                    \                4 / 

                 -0.707106781159483   
(11.780972451, ----------------------)
                  /               pi\ 
               sin|11.780972451 + --| 
                  \               4 / 

                    0.707106781188498    
(-3.92699081699, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|3.92699081699 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.707106781170997   
(68.3296402156, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|68.3296402156 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781175378   
(-25.9181393921, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|25.9181393921 + --| 
                    \                4 / 

                   0.707106781207079    
(52.6216769476, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|52.6216769476 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781160944   
(-19.6349540849, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|19.6349540849 + --| 
                    \                4 / 

                    -0.707106781189816   
(-32.2013246993, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|32.2013246993 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.707106781188059   
(5.49778714378, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|5.49778714378 + --| 
                   \                4 / 

                    0.707106781156651    
(-79.3252145031, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|79.3252145031 + --| 
                    \                4 / 

                   0.707106781192644    
(58.9048622548, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|58.9048622548 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781218685   
(-44.7676953137, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|44.7676953137 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.707106781186891   
(30.6305283725, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|30.6305283725 + --| 
                   \                4 / 

                    0.707106781184059    
(-60.4756585816, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|60.4756585816 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.707106781198395   
(87.1791961371, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|87.1791961371 + --| 
                   \                4 / 

                  -0.707106781176842   
(-57.334065928, ----------------------)
                   /               pi\ 
                cos|57.334065928 + --| 
                   \               4 / 

                    -0.707106780868058   
(-107.599548385, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|107.599548385 + --| 
                    \                4 / 

                    0.707106781197033    
(-35.3429173529, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|35.3429173529 + --| 
                    \                4 / 

                    0.707106781211468    
(-41.6261026601, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|41.6261026601 + --| 
                    \                4 / 

                   -0.707106781199862   
(55.7632696012, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|55.7632696012 + --| 
                   \                4 / 

                   0.707106781205613    
(84.0376034835, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|84.0376034835 + --| 
                   \                4 / 

                   0.707106781221513    
(46.3384916404, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|46.3384916404 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781162408   
(-51.0508806208, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|51.0508806208 + --| 
                    \                4 / 

                   0.707106781194108    
(27.4889357189, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|27.4889357189 + --| 
                   \                4 / 

                   0.707106781188206    
(2.35619449019, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|2.35619449019 + --| 
                   \                4 / 

                   0.707106781187914    
(8.63937979737, -----------------------)
                   /                pi\ 
                sin|8.63937979737 + --| 
                   \                4 / 

                    -0.707106781188644   
(-7.06858347058, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|7.06858347058 + --| 
                    \                4 / 

                    0.707106781185521    
(-91.8915851175, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|91.8915851175 + --| 
                    \                4 / 

                    -0.707106782938161   
(-1439.63483351, -----------------------)
                    /                pi\ 
                 cos|1439.63483351 + --| 
                    \                4 / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{66} = 99.7455667515$$
$$x_{66} = 96.6039740979$$
$$x_{66} = 62.0464549084$$
$$x_{66} = 74.6128255228$$
$$x_{66} = -22.7765467385$$
$$x_{66} = 33.7721210261$$
$$x_{66} = 36.9137136797$$
$$x_{66} = -88.7499924639$$
$$x_{66} = -16.4933614313$$
$$x_{66} = -85.6083998103$$
$$x_{66} = -82.4668071567$$
$$x_{66} = -47.9092879672$$
$$x_{66} = 71.4712328692$$
$$x_{66} = -0.785398163397$$
$$x_{66} = -54.1924732744$$
$$x_{66} = 93.4623814443$$
$$x_{66} = -29.0597320457$$
$$x_{66} = 43.1968989869$$
$$x_{66} = 14.9225651046$$
$$x_{66} = 40.0553063333$$
$$x_{66} = 65.188047562$$
$$x_{66} = 11.780972451$$
$$x_{66} = 68.3296402156$$
$$x_{66} = -25.9181393921$$
$$x_{66} = -19.6349540849$$
$$x_{66} = -79.3252145031$$
$$x_{66} = -60.4756585816$$
$$x_{66} = -57.334065928$$
$$x_{66} = -107.599548385$$
$$x_{66} = -51.0508806208$$
$$x_{66} = -91.8915851175$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{66} = 21.2057504117$$
$$x_{66} = 90.3207887907$$
$$x_{66} = -69.9004365424$$
$$x_{66} = -38.4845100065$$
$$x_{66} = -73.042029196$$
$$x_{66} = -63.6172512352$$
$$x_{66} = 77.7544181763$$
$$x_{66} = -76.1836218496$$
$$x_{66} = 18.0641577581$$
$$x_{66} = 49.480084294$$
$$x_{66} = -13.3517687778$$
$$x_{66} = -10.2101761242$$
$$x_{66} = 80.8960108299$$
$$x_{66} = 24.3473430653$$
$$x_{66} = -98.1747704247$$
$$x_{66} = -95.0331777711$$
$$x_{66} = -66.7588438888$$
$$x_{66} = -3.92699081699$$
$$x_{66} = 52.6216769476$$
$$x_{66} = -32.2013246993$$
$$x_{66} = 5.49778714378$$
$$x_{66} = 58.9048622548$$
$$x_{66} = -44.7676953137$$
$$x_{66} = 30.6305283725$$
$$x_{66} = 87.1791961371$$
$$x_{66} = -35.3429173529$$
$$x_{66} = -41.6261026601$$
$$x_{66} = 55.7632696012$$
$$x_{66} = 84.0376034835$$
$$x_{66} = 46.3384916404$$
$$x_{66} = 27.4889357189$$
$$x_{66} = 2.35619449019$$
$$x_{66} = 8.63937979737$$
$$x_{66} = -7.06858347058$$
$$x_{66} = -1439.63483351$$
Убывает на промежутках

[99.7455667515, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -107.599548385]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \left(\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} - \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$

$$\lim_{x \to -0.785398163397448^-}\left(\frac{2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \left(\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} - \cos{\left (x \right )}\right)\right) = - \frac{1}{\cos^{3}{\left (0.785398163397448 + \frac{\pi}{4} \right )}} \left(1.4142135623731 \sin{\left (0.785398163397448 + \frac{\pi}{4} \right )} \cos{\left (0.785398163397448 + \frac{\pi}{4} \right )} + 1.41421356237309 \sin^{2}{\left (0.785398163397448 + \frac{\pi}{4} \right )}\right)$$
$$\lim_{x \to -0.785398163397448^+}\left(\frac{2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \left(\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} - \cos{\left (x \right )}\right)\right) = - \frac{1}{\cos^{3}{\left (0.785398163397448 + \frac{\pi}{4} \right )}} \left(1.4142135623731 \sin{\left (0.785398163397448 + \frac{\pi}{4} \right )} \cos{\left (0.785398163397448 + \frac{\pi}{4} \right )} + 1.41421356237309 \sin^{2}{\left (0.785398163397448 + \frac{\pi}{4} \right )}\right)$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 2.35619449019234^-}\left(\frac{2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \left(\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} - \cos{\left (x \right )}\right)\right) = \frac{1}{\sin^{3}{\left (\frac{\pi}{4} + 2.35619449019234 \right )}} \left(1.41421356237309 \sin{\left (\frac{\pi}{4} + 2.35619449019234 \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{4} + 2.35619449019234 \right )} + 1.4142135623731 \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{4} + 2.35619449019234 \right )}\right)$$
$$\lim_{x \to 2.35619449019234^+}\left(\frac{2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{2}{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} \left(\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} - \cos{\left (x \right )}\right)\right) = \frac{1}{\sin^{3}{\left (\frac{\pi}{4} + 2.35619449019234 \right )}} \left(1.41421356237309 \sin{\left (\frac{\pi}{4} + 2.35619449019234 \right )} \cos{\left (\frac{\pi}{4} + 2.35619449019234 \right )} + 1.4142135623731 \cos^{2}{\left (\frac{\pi}{4} + 2.35619449019234 \right )}\right)$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[5*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/4]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/sin(x + pi/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} = - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}} = - \frac{-1 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной