График функции y = (x^2+9)/(x+4)

Вы ввели

        2    
       x  + 9
f(x) = ------
       x + 4 

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 9}{x + 4}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 9}{x + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 9)/(x + 4).
$$\frac{1}{4} \left(0^{2} + 9\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{9}{4}$$
Точка:

(0, 9/4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x}{x + 4} - \frac{x^{2} + 9}{\left(x + 4\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-9, -18)

(1, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -9$$
Убывает на промежутках

(-oo, -9] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-9, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 4} \left(- \frac{4 x}{x + 4} + 2 + \frac{2 x^{2} + 18}{\left(x + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -4$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 9}{x + 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 9}{x + 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 9)/(x + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 9}{x \left(x + 4\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 9}{x \left(x + 4\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 9}{x + 4} = \frac{x^{2} + 9}{- x + 4}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 9}{x + 4} = - \frac{x^{2} + 9}{- x + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной