Точки, в которых функция точно неопределена: $$x_{1} = -4$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\frac{x^{2} + 9}{x + 4} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x^2 + 9)/(x + 4). $$\frac{1}{4} \left(0^{2} + 9\right)$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = \frac{9}{4}$$ Точка:
(0, 9/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$\frac{2 x}{x + 4} - \frac{x^{2} + 9}{\left(x + 4\right)^{2}} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = -9$$ $$x_{2} = 1$$ Зн. экстремумы в точках:
(-9, -18)
(1, 2)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{2} = 1$$ Максимумы функции в точках: $$x_{2} = -9$$ Убывает на промежутках
(-oo, -9] U [1, oo)
Возрастает на промежутках
[-9, 1]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{1}{x + 4} \left(- \frac{4 x}{x + 4} + 2 + \frac{2 x^{2} + 18}{\left(x + 4\right)^{2}}\right) = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: $$x_{1} = -4$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 9}{x + 4}\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 9}{x + 4}\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 9)/(x + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 9}{x \left(x + 4\right)}\right) = 1$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = x$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 9}{x \left(x + 4\right)}\right) = 1$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: $$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\frac{x^{2} + 9}{x + 4} = \frac{x^{2} + 9}{- x + 4}$$ - Нет $$\frac{x^{2} + 9}{x + 4} = - \frac{x^{2} + 9}{- x + 4}$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной