График функции y = x*sqrt(1-x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
            ________
           /      2 
f(x) = x*\/  1 - x  
f(x)=xx2+1f{\left (x \right )} = x \sqrt{- x^{2} + 1}
График функции
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81-1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
xx2+1=0x \sqrt{- x^{2} + 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(1 - x^2).
00+10 \sqrt{- 0 + 1}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x2x2+1+x2+1=0- \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} + \sqrt{- x^{2} + 1} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Зн. экстремумы в точках:
    ___        
 -\/ 2         
(-------, -1/2)
    2          

   ___      
 \/ 2       
(-----, 1/2)
   2        


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=22x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
Максимумы функции в точках:
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Убывает на промежутках
[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2] U [sqrt(2)/2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
x(x2x2+1+3)x2+1=0- \frac{x \left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 1} + 3\right)}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=62x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}
x3=62x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(xx2+1)=i\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{- x^{2} + 1}\right) = - \infty i
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=iy = - \infty i
limx(xx2+1)=i\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{- x^{2} + 1}\right) = \infty i
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=iy = \infty i
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(1 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limxx2+1=i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x^{2} + 1} = \infty i
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=ixy = \infty i x
limxx2+1=i\lim_{x \to \infty} \sqrt{- x^{2} + 1} = \infty i
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=ixy = \infty i x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
xx2+1=xx2+1x \sqrt{- x^{2} + 1} = - x \sqrt{- x^{2} + 1}
- Нет
xx2+1=1xx2+1x \sqrt{- x^{2} + 1} = - -1 x \sqrt{- x^{2} + 1}
- Да
значит, функция
является
нечётной