График функции y = x*sqrt(1-x^2)

Вы ввели

            ________
           /      2 
f(x) = x*\/  1 - x  

$$f{\left (x \right )} = x \sqrt{- x^{2} + 1}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(1 - x^2).
$$0 \sqrt{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} + \sqrt{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___        
 -\/ 2         
(-------, -1/2)
    2          

   ___      
 \/ 2       
(-----, 1/2)
   2        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Убывает на промежутках

[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(2)/2] U [sqrt(2)/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{x \left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 1} + 3\right)}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках

[0, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{- x^{2} + 1}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{- x^{2} + 1}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(1 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x^{2} + 1} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty i x$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{- x^{2} + 1} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \infty i x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sqrt{- x^{2} + 1} = - x \sqrt{- x^{2} + 1}$$
- Нет
$$x \sqrt{- x^{2} + 1} = - -1 x \sqrt{- x^{2} + 1}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной