График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x−x2+1=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−1 x2=0 x3=1 Численное решение x1=−1 x2=0 x3=1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x*sqrt(1 - x^2). 0−0+1 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −−x2+1x2+−x2+1=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−22 x2=22 Зн. экстремумы в точках:
___
-\/ 2
(-------, -1/2)
2
___
\/ 2
(-----, 1/2)
2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=−22 Максимумы функции в точках: x2=22 Убывает на промежутках
[-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2]
Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2] U [sqrt(2)/2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная −−x2+1x(−x2+1x2+3)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=−26 x3=26
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]
Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x−x2+1)=−∞i Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=−∞i x→∞lim(x−x2+1)=∞i Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=∞i
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(1 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim−x2+1=∞i Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=∞ix x→∞lim−x2+1=∞i Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=∞ix
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x−x2+1=−x−x2+1 - Нет x−x2+1=−−1x−x2+1 - Да значит, функция является нечётной