График функции y = x^4-2*x^3+6*x-4

Вы ввели

        4      3          
f(x) = x  - 2*x  + 6*x - 4

$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 2 + \frac{10}{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 2 + \frac{10}{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{2}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}} + 1 + 2 \sqrt[3]{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{2073}}{36}}}}{2} + \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.55343040042452$$
$$x_{2} = 0.756351042296715$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4 - 2*x^3 + 6*x - 1*4.
$$\left(-1\right) 4 + 0^{4} - 2 \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -4$$
Точка:

(0, -4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                                                                                                   4                                                                                    3                           
                                    ________________          /                                   ________________\                                /                                   ________________\                            
                                   /            ___           |                                  /            ___ |                                |                                  /            ___ |                            
                                  /  135   27*\/ 6            |                                 /  135   27*\/ 6  |           ________________     |                                 /  135   27*\/ 6  |                            
                               3 /   --- + --------           |                              3 /   --- + -------- |          /            ___      |                              3 /   --- + -------- |                            
 1              3              \/     8       4               |1              3              \/     8       4     |         /  135   27*\/ 6       |1              3              \/     8       4     |               9            
(- - ----------------------- - ---------------------, 3 - 4 + |- - ----------------------- - ---------------------|  - 2*3 /   --- + --------  - 2*|- - ----------------------- - ---------------------|  - -----------------------)
 2          ________________             3                    |2          ________________             3          |      \/     8       4          |2          ________________             3          |           ________________ 
           /            ___                                   |          /            ___                         |                                |          /            ___                         |          /            ___  
          /  135   27*\/ 6                                    |         /  135   27*\/ 6                          |                                |         /  135   27*\/ 6                          |         /  135   27*\/ 6   
     4*3 /   --- + --------                                   |    4*3 /   --- + --------                         |                                |    4*3 /   --- + --------                         |    2*3 /   --- + --------  
       \/     8       4                                       \      \/     8       4                             /                                \      \/     8       4                             /      \/     8       4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}}{3} - \frac{3}{4 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{6}}{4} + \frac{135}{8}}} + \frac{1}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$12 x \left(x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 1\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 2*x^3 + 6*x - 1*4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = x^{4} + 2 x^{3} - 6 x - 4$$
- Нет
$$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x - 4 = - x^{4} - 2 x^{3} + 6 x + 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График