График функции y = 2*x^2-13*x+18

          2            
f(x) = 2*x  - 13*x + 18

$$f{\left (x \right )} = 2 x^{2} - 13 x + 18$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x^{2} - 13 x + 18 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{9}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 4.5$$
$$x_{2} = 2$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^2 - 13*x + 18.
$$2 \cdot 0^{2} - 0 + 18$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 18$$
Точка:

(0, 18)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 x - 13 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{13}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(13/4, -25/8)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{13}{4}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[13/4, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 13/4]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{2} - 13 x + 18\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} - 13 x + 18\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^2 - 13*x + 18, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{2} - 13 x + 18\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x^{2} - 13 x + 18\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x^{2} - 13 x + 18 = 2 x^{2} + 13 x + 18$$
- Нет
$$2 x^{2} - 13 x + 18 = - 2 x^{2} - 13 x - 18$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной