График функции y = x^3-12*x^2+45*x-48

Вы ввели

        3       2            
f(x) = x  - 12*x  + 45*x - 48

$$f{\left (x \right )} = 45 x + x^{3} - 12 x^{2} - 48$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$45 x + x^{3} - 12 x^{2} - 48 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}} + 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.80417665455$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 12*x^2 + 45*x - 48.
$$-48 + 0^{3} - 0 + 0 \cdot 45$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -48$$
Точка:

(0, -48)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - 24 x + 45 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

(3, 6)

(5, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3] U [5, oo)

Возрастает на промежутках

[3, 5]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(45 x + x^{3} - 12 x^{2} - 48\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(45 x + x^{3} - 12 x^{2} - 48\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 12*x^2 + 45*x - 48, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(45 x + x^{3} - 12 x^{2} - 48\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(45 x + x^{3} - 12 x^{2} - 48\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$45 x + x^{3} - 12 x^{2} - 48 = - x^{3} - 12 x^{2} - 45 x - 48$$
- Нет
$$45 x + x^{3} - 12 x^{2} - 48 = - -1 x^{3} - - 12 x^{2} - - 45 x + 48$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной