График функции y = sqrt(-x^2-x+2)+log(sin(x))

Вы ввели

          ______________              
         /    2                       
f(x) = \/  - x  - x + 2  + log(sin(x))

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{- x^{2} - x + 2} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{- x^{2} - x + 2} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0.281686173837$$
$$x_{2} = 0.989207155549$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(-x^2 - x + 2) + log(sin(x)).
$$\log{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )} + \sqrt{- 0 - 0 + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{- x - \frac{1}{2}}{\sqrt{- x^{2} - x + 2}} + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.672965258212$$
$$x_{2} = -1.13423657311$$
Зн. экстремумы в точках:

(0.672965258212, 0.462245907675037)

(-1.13423657311, 1.26083506584793 + pi*I)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0.672965258212$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0.672965258212]

Возрастает на промежутках

[0.672965258212, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x^{2} - x + 2} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} - x + 2} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(-x^2 - x + 2) + log(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{- x^{2} - x + 2} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{- x^{2} - x + 2} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{- x^{2} - x + 2} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \sqrt{- x^{2} + x + 2} + \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\sqrt{- x^{2} - x + 2} + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - \sqrt{- x^{2} + x + 2} - \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной