График функции y = (8*x^2)/exp(x)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           2
        8*x 
f(x) = -----
           2
       / x\ 
       \e / 
f(x)=8x2(ex)2f{\left (x \right )} = \frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}}
График функции
01234567891110020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
8x2(ex)2=0\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (8*x^2)/exp(x)^2.
0(e0)21\frac{0}{\left(e^{0}\right)^{2}} 1
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
16x2e2x+16xe2x=0- 16 x^{2} e^{- 2 x} + 16 x e^{- 2 x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

       -2 
(1, 8*e  )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Максимумы функции в точках:
x2=1x_{2} = 1
Убывает на промежутках
[0, 1]

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [1, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
16(2x24x+1)e2x=016 \left(2 x^{2} - 4 x + 1\right) e^{- 2 x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=22+1x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1
x2=22+1x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2 + 1] U [sqrt(2)/2 + 1, oo)

Выпуклая на промежутках
[-sqrt(2)/2 + 1, sqrt(2)/2 + 1]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(8x2(ex)2)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(8x2(ex)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (8*x^2)/exp(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(8xe2x)=\lim_{x \to -\infty}\left(8 x e^{- 2 x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(8xe2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(8 x e^{- 2 x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
8x2(ex)2=8x2e2x\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = 8 x^{2} e^{2 x}
- Нет
8x2(ex)2=8x2e2x\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = - 8 x^{2} e^{2 x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной