График функции y = (8*x^2)/exp(x)^2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
           2
        8*x 
f(x) = -----
           2
       / x\ 
       \e / 
$$f{\left (x \right )} = \frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (8*x^2)/exp(x)^2.
$$\frac{0}{\left(e^{0}\right)^{2}} 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 16 x^{2} e^{- 2 x} + 16 x e^{- 2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

       -2 
(1, 8*e  )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
[0, 1]

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [1, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$16 \left(2 x^{2} - 4 x + 1\right) e^{- 2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2 + 1] U [sqrt(2)/2 + 1, oo)

Выпуклая на промежутках
[-sqrt(2)/2 + 1, sqrt(2)/2 + 1]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (8*x^2)/exp(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 x e^{- 2 x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x e^{- 2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = 8 x^{2} e^{2 x}$$
- Нет
$$\frac{8 x^{2}}{\left(e^{x}\right)^{2}} = - 8 x^{2} e^{2 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной