График функции y = -((x^2+289)/x)

Вы ввели

        / 2      \ 
       -\x  + 289/ 
f(x) = ------------
            x      

$$f{\left(x \right)} = - \frac{x^{2} + 289}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{x^{2} + 289}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -(x^2 + 289)/x.
$$- \frac{0^{2} + 289}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$-2 + \frac{x^{2} + 289}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -17$$
$$x_{2} = 17$$
Зн. экстремумы в точках:

(-17, 34)

(17, -34)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -17$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 17$$
Убывает на промежутках
$$\left[-17, 17\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -17\right] \cup \left[17, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x^{2} + 289}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{2} + 289}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} + 289}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -(x^2 + 289)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{x^{2} + 289}{x^{2}}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} + 289}{x^{2}}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{x^{2} + 289}{x} = \frac{x^{2} + 289}{x}$$
- Нет
$$- \frac{x^{2} + 289}{x} = - \frac{x^{2} + 289}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График