График функции y = sqrt(4*x^2+4*x+1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          ________________
         /    2           
f(x) = \/  4*x  + 4*x + 1 
f(x)=4x2+4x+1f{\left(x \right)} = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}
График функции
02468-8-6-4-2-1010025
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
4x2+4x+1=0\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=12x_{1} = - \frac{1}{2}
Численное решение
x1=0.5x_{1} = -0.5
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(4*x^2 + 4*x + 1).
402+40+1\sqrt{4 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 + 1}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
4x+24x2+4x+1=0\frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
4((2x+1)24x2+4x+1+1)4x2+4x+1=0\frac{4 \left(- \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{4 x^{2} + 4 x + 1} + 1\right)}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx4x2+4x+1=\lim_{x \to -\infty} \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx4x2+4x+1=\lim_{x \to \infty} \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(4*x^2 + 4*x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(4x2+4x+1x)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}}{x}\right) = -2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=2xy = - 2 x
limx(4x2+4x+1x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}}{x}\right) = 2
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=2xy = 2 x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
4x2+4x+1=4x24x+1\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = \sqrt{4 x^{2} - 4 x + 1}
- Нет
4x2+4x+1=4x24x+1\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = - \sqrt{4 x^{2} - 4 x + 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = sqrt(4*x^2+4*x+1) /media/krcore-image-pods/hash/xy/a/33/420b7da79456d00fb2a96ff40109a.png