График функции y = sqrt(4*x^2+4*x+1)

          ________________
         /    2           
f(x) = \/  4*x  + 4*x + 1 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.5$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(4*x^2 + 4*x + 1).
$$\sqrt{4 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{- \frac{4 \left(2 x + 1\right)^{2}}{4 x \left(x + 1\right) + 1} + 4}{\sqrt{4 x \left(x + 1\right) + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(4*x^2 + 4*x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = \sqrt{4 x^{2} - 4 x + 1}$$
- Нет
$$\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 1} = - \sqrt{4 x^{2} - 4 x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной