График функции y = -x^2+4*x-1

Вы ввели

          2          
f(x) = - x  + 4*x - 1

$$f{\left(x \right)} = - x^{2} + 4 x - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{2} + 4 x - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.267949192431123$$
$$x_{2} = 3.73205080756888$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -x^2 + 4*x - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 - 0^{2} + 4 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$4 - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, 4 - 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$-2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + 4 x - 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 4 x - 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^2 + 4*x - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 4 x - 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 4 x - 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{2} + 4 x - 1 = - x^{2} - 4 x - 1$$
- Нет
$$- x^{2} + 4 x - 1 = x^{2} + 4 x + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График