График функции y = -3*x^3-6*x^2-14*x+5

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

            3      2           
f(x) = - 3*x  - 6*x  - 14*x + 5

$$f{\left (x \right )} = - 14 x + - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 5$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 14 x + - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{10}{9 \sqrt[3]{\frac{113}{54} + \frac{\sqrt{16769}}{54}}} - \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{113}{54} + \frac{\sqrt{16769}}{54}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.309678561192$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -3*x^3 - 6*x^2 - 14*x + 5.
$$- 0 - 0 - 0 + 5$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 5$$
Точка:

(0, 5)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 9 x^{2} - 12 x - 14 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

[TeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 6 \left(3 x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -2/3]

Выпуклая на промежутках

[-2/3, oo)

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 14 x + - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 14 x + - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 5\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -3*x^3 - 6*x^2 - 14*x + 5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 14 x + - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 5\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 14 x + - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 5\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 14 x + - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 5 = 3 x^{3} - 6 x^{2} + 14 x + 5$$
- Нет
$$- 14 x + - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 5 = - 3 x^{3} - - 6 x^{2} - 14 x - 5$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной