График функции y = (x-1)/(9*x^3-4*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         x - 1   
f(x) = ----------
          3      
       9*x  - 4*x
f(x)=x19x34xf{\left (x \right )} = \frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x}
График функции
05-20-15-10-5101520-1010
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
x2=0x_{2} = 0
x3=0.666666666666667x_{3} = 0.666666666666667
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x19x34x=0\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1)/(9*x^3 - 4*x).
19030- \frac{1}{9 \cdot 0^{3} - 0}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x(9x24)2(54x+541x(54x28)+2(x1)(27x24)2x2(9x24))=0\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1.78376814165553x_{1} = 1.78376814165553
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
x2=0x_{2} = 0
x3=0.666666666666667x_{3} = 0.666666666666667

limx0.666666666666667(1x(9x24)2(54x+541x(54x28)+2(x1)(27x24)2x2(9x24)))=\lim_{x \to -0.666666666666667^-}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = \infty
limx0.666666666666667+(1x(9x24)2(54x+541x(54x28)+2(x1)(27x24)2x2(9x24)))=\lim_{x \to -0.666666666666667^+}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = -\infty
- пределы не равны, зн.
x1=0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
- является точкой перегиба
limx0(1x(9x24)2(54x+541x(54x28)+2(x1)(27x24)2x2(9x24)))=\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = -\infty
limx0+(1x(9x24)2(54x+541x(54x28)+2(x1)(27x24)2x2(9x24)))=\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = \infty
- пределы не равны, зн.
x2=0x_{2} = 0
- является точкой перегиба
limx0.666666666666667(1x(9x24)2(54x+541x(54x28)+2(x1)(27x24)2x2(9x24)))=\lim_{x \to 0.666666666666667^-}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = \infty
limx0.666666666666667+(1x(9x24)2(54x+541x(54x28)+2(x1)(27x24)2x2(9x24)))=\lim_{x \to 0.666666666666667^+}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = -\infty
- пределы не равны, зн.
x3=0.666666666666667x_{3} = 0.666666666666667
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1.78376814165553, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1.78376814165553]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
x2=0x_{2} = 0
x3=0.666666666666667x_{3} = 0.666666666666667
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x19x34x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(x19x34x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1)/(9*x^3 - 4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x1x(9x34x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(9 x^{3} - 4 x\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x1x(9x34x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(9 x^{3} - 4 x\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x19x34x=x19x3+4x\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x} = \frac{- x - 1}{- 9 x^{3} + 4 x}
- Нет
x19x34x=x19x3+4x\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x} = - \frac{- x - 1}{- 9 x^{3} + 4 x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной