График функции y = (x-1)/(9*x^3-4*x)

         x - 1   
f(x) = ----------
          3      
       9*x  - 4*x

$$f{\left (x \right )} = \frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 0.666666666666667$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1)/(9*x^3 - 4*x).
$$- \frac{1}{9 \cdot 0^{3} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1.78376814165553$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 0.666666666666667$$

$$\lim_{x \to -0.666666666666667^-}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -0.666666666666667^+}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 0.666666666666667^-}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0.666666666666667^+}\left(\frac{1}{x \left(9 x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 54 x + 54 - \frac{1}{x} \left(54 x^{2} - 8\right) + \frac{2 \left(x - 1\right) \left(27 x^{2} - 4\right)^{2}}{x^{2} \left(9 x^{2} - 4\right)}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{3} = 0.666666666666667$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1.78376814165553, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1.78376814165553]

Есть:
$$x_{1} = -0.666666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 0.666666666666667$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1)/(9*x^3 - 4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(9 x^{3} - 4 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(9 x^{3} - 4 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x} = \frac{- x - 1}{- 9 x^{3} + 4 x}$$
- Нет
$$\frac{x - 1}{9 x^{3} - 4 x} = - \frac{- x - 1}{- 9 x^{3} + 4 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной