Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−0.666666666666667
x2=0
x3=0.666666666666667
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
9x3−4xx−1=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=1
Численное решение
x1=1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 1)/(9*x^3 - 4*x).
−9⋅03−01
Результат:
f(0)=∞~
зн.f не пересекает Y
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
Вторая производная
x(9x2−4)21(−54x+54−x1(54x2−8)+x2(9x2−4)2(x−1)(27x2−4)2)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1.78376814165553
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=−0.666666666666667
x2=0
x3=0.666666666666667
x→−0.666666666666667−lim(x(9x2−4)21(−54x+54−x1(54x2−8)+x2(9x2−4)2(x−1)(27x2−4)2))=∞
x→−0.666666666666667+lim(x(9x2−4)21(−54x+54−x1(54x2−8)+x2(9x2−4)2(x−1)(27x2−4)2))=−∞
- пределы не равны, зн.
x1=−0.666666666666667
- является точкой перегиба
x→0−lim(x(9x2−4)21(−54x+54−x1(54x2−8)+x2(9x2−4)2(x−1)(27x2−4)2))=−∞
x→0+lim(x(9x2−4)21(−54x+54−x1(54x2−8)+x2(9x2−4)2(x−1)(27x2−4)2))=∞
- пределы не равны, зн.
x2=0
- является точкой перегиба
x→0.666666666666667−lim(x(9x2−4)21(−54x+54−x1(54x2−8)+x2(9x2−4)2(x−1)(27x2−4)2))=∞
x→0.666666666666667+lim(x(9x2−4)21(−54x+54−x1(54x2−8)+x2(9x2−4)2(x−1)(27x2−4)2))=−∞
- пределы не равны, зн.
x3=0.666666666666667
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1.78376814165553, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 1.78376814165553]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−0.666666666666667
x2=0
x3=0.666666666666667
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(9x3−4xx−1)=0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0
x→∞lim(9x3−4xx−1)=0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1)/(9*x^3 - 4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(x(9x3−4x)x−1)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(x(9x3−4x)x−1)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
9x3−4xx−1=−9x3+4x−x−1
- Нет
9x3−4xx−1=−−9x3+4x−x−1
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной