График функции y = -3*x^5+5*x^3-2
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
5 3 f(x) = - 3*x + 5*x - 2
$$f{\left (x \right )} = - 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{3} - \frac{2}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1.38481156334$$
значит надо решить уравнение:
$$- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{3} - \frac{2}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1.38481156334$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -3*x^5 + 5*x^3 - 2.
$$-2 + - 0 + 5 \cdot 0^{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -2$$
Точка:
подставляем x = 0 в -3*x^5 + 5*x^3 - 2.
$$-2 + - 0 + 5 \cdot 0^{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -2$$
Точка:
(0, -2)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 1$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, -4)
(0, -2)
(1, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 1$$
Убывает на промежутках
[-1, 1]
Возрастает на промежутках
(-oo, -1] U [1, oo)
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$30 x \left(- 2 x^{2} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$30 x \left(- 2 x^{2} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2] U [0, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [sqrt(2)/2, oo)
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -3*x^5 + 5*x^3 - 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2 = 3 x^{5} - 5 x^{3} - 2$$
- Нет
$$- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2 = - 3 x^{5} - - 5 x^{3} + 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2 = 3 x^{5} - 5 x^{3} - 2$$
- Нет
$$- 3 x^{5} + 5 x^{3} - 2 = - 3 x^{5} - - 5 x^{3} + 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной