График функции y = -x^2+5*x+4

Вы ввели

          2          
f(x) = - x  + 5*x + 4

$$f{\left(x \right)} = - x^{2} + 5 x + 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{2} + 5 x + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.70156211871642$$
$$x_{2} = -0.701562118716424$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -x^2 + 5*x + 4.
$$- 0^{2} + 5 \cdot 0 + 4$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$5 - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(5/2, 41/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$-2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + 5 x + 4\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 5 x + 4\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^2 + 5*x + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 5 x + 4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 5 x + 4}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{2} + 5 x + 4 = - x^{2} - 5 x + 4$$
- Нет
$$- x^{2} + 5 x + 4 = x^{2} + 5 x - 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График