График функции y = (4-x)*e^(x-3)

Вы ввели

                x - 3
f(x) = (4 - x)*E     

$$f{\left (x \right )} = e^{x - 3} \left(- x + 4\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x - 3} \left(- x + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = -99.1040701575$$
$$x_{2} = -93.1205993527$$
$$x_{3} = -59.2896724119$$
$$x_{4} = -89.1329980619$$
$$x_{5} = -109.080930866$$
$$x_{6} = -33.7592416454$$
$$x_{7} = 4$$
$$x_{8} = -91.1266472538$$
$$x_{9} = -31.846376594$$
$$x_{10} = -79.1702113647$$
$$x_{11} = -35.6870583075$$
$$x_{12} = -57.3071694941$$
$$x_{13} = -39.5740005057$$
$$x_{14} = -119.061997115$$
$$x_{15} = -117.065503606$$
$$x_{16} = -115.069142283$$
$$x_{17} = -101.099039845$$
$$x_{18} = -45.4541901054$$
$$x_{19} = -61.2735421114$$
$$x_{20} = -97.1093292372$$
$$x_{21} = -53.3470343911$$
$$x_{22} = -28.0913241206$$
$$x_{23} = -87.1396752246$$
$$x_{24} = -103.094223645$$
$$x_{25} = -71.2086687051$$
$$x_{26} = -105.089608132$$
$$x_{27} = -55.3262172$$
$$x_{28} = -51.3698838391$$
$$x_{29} = -85.1467046859$$
$$x_{30} = -111.076847342$$
$$x_{31} = -77.1789726997$$
$$x_{32} = -49.3950840174$$
$$x_{33} = -63.2586229734$$
$$x_{34} = -73.1981473784$$
$$x_{35} = -43.4891864945$$
$$x_{36} = -107.085180983$$
$$x_{37} = -67.2319064024$$
$$x_{38} = -121.058615718$$
$$x_{39} = -113.072920782$$
$$x_{40} = -65.244782341$$
$$x_{41} = -83.1541152287$$
$$x_{42} = -81.1619388763$$
$$x_{43} = -47.4230249784$$
$$x_{44} = -37.6261544569$$
$$x_{45} = -29.9540517146$$
$$x_{46} = -41.5287883413$$
$$x_{47} = -69.2198969347$$
$$x_{48} = -95.114833113$$
$$x_{49} = -75.1882678184$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4 - x)*E^(x - 3).
$$\frac{1}{e^{3}} \left(- 0 + 4\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{4}{e^{3}}$$
Точка:

(0, 4*exp(-3))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\left(- x + 4\right) e^{x - 3} - e^{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(3, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3]

Возрастает на промежутках

[3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \left(x - 2\right) e^{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 2]

Выпуклая на промежутках

[2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x - 3} \left(- x + 4\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x - 3} \left(- x + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4 - x)*E^(x - 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + 4\right) e^{x - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + 4\right) e^{x - 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x - 3} \left(- x + 4\right) = \left(x + 4\right) e^{- x - 3}$$
- Нет
$$e^{x - 3} \left(- x + 4\right) = - \left(x + 4\right) e^{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной