График функции y = sqrt(x^3-3*x+11)

Вы ввели

          _______________
         /  3            
f(x) = \/  x  - 3*x + 11 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{x^{3} - 3 x + 11}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x^{3} - 3 x + 11} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{81 \sqrt{13}}{2} + \frac{297}{2}} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{81 \sqrt{13}}{2} + \frac{297}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.66868509047775$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x^3 - 3*x + 11).
$$\sqrt{0^{3} - 0 + 11}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt{11}$$
Точка:

(0, sqrt(11))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{2}}{\sqrt{x^{3} - 3 x + 11}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

       ____ 
(-1, \/ 13 )

(1, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1] U [1, oo)

Возрастает на промежутках

[-1, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\sqrt{x^{3} - 3 x + 11}} \left(3 x - \frac{9 \left(x^{2} - 1\right)^{2}}{4 x^{3} - 12 x + 44}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{3} - 3 x + 11} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{3} - 3 x + 11} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x^3 - 3*x + 11), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{3} - 3 x + 11}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \infty i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{3} - 3 x + 11}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x^{3} - 3 x + 11} = \sqrt{- x^{3} + 3 x + 11}$$
- Нет
$$\sqrt{x^{3} - 3 x + 11} = - \sqrt{- x^{3} + 3 x + 11}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной